Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

a) En una tienda de lámparas tienen tres proveedores A, B y C. A suministra el

20\%

, B el

10\%

y C el resto. De las lámparas de A salen defectuosas el

5\%

, de las de B el

4\%

y de las de C el

2\%

. Elegida una lámpara al azar de la tienda, calcula razonadamente la probabilidad de:

a1) No salgan defectuosas. (0,75 puntos)

a2) Si resultó defectuosa, que fuera suministrada por B. (0,5 puntos)

b) Una parte de un examen consta de cinco preguntas tipo test. Se aprueba dicha parte si contestas correctamente al menos tres preguntas. Calcula razonadamente la probabilidad de aprobar dicha parte, contestando al azar, cuando:

b1) Cada respuesta tiene dos ítems, solamente uno verdadero. (0,75 puntos)

b2) Cada respuesta tiene cuatro ítems, solamente uno verdadero. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 5

)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a1)}\ P(\overline{D}) = 0{,}972 \qquad \text{a2)}\ P(B \mid D) = \frac{1}{7} \approx 0{,}1429\;}

\boxed{\;\text{b1)}\ P(X \geq 3) = 0{,}5 \qquad \text{b2)}\ P(X \geq 3) \approx 0{,}1035\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes: la lámpara viene de uno de tres proveedores (que forman un sistema completo de sucesos) y, según de cuál venga, tiene una probabilidad distinta de salir defectuosa. Un diagrama de árbol lo ordena todo. En a1) conviene calcular primero

P(D)

y restar; en a2) nos dan la información "salió defectuosa" y preguntan por el proveedor: eso es Bayes.

En b) se repite cinco veces, de forma independiente, el mismo experimento (contestar al azar una pregunta) con dos resultados (acierto o fallo) y la misma probabilidad de acierto: el número de aciertos sigue una binomial

B(5, p)

, con

p = \frac{1}{2}

si hay dos opciones y

p = \frac{1}{4}

si hay cuatro. Aprobar es

X \geq 3

, y las probabilidades se leen en la tabla adjunta.

Desarrollo

a) Sucesos:

A

B

C

= la lámpara es del proveedor A, B o C;

D

= la lámpara es defectuosa. Datos:

P(A) = 0{,}20, \quad P(B) = 0{,}10, \quad P(C) = 1 - 0{,}20 - 0{,}10 = 0{,}70

P(D \mid A) = 0{,}05, \quad P(D \mid B) = 0{,}04, \quad P(D \mid C) = 0{,}02

Proveedor	$P(\text{proveedor})$	$P(D \mid \text{proveedor})$	$P(\text{proveedor} \cap D)$
A	$0{,}20$	$0{,}05$	$0{,}010$
B	$0{,}10$	$0{,}04$	$0{,}004$
C	$0{,}70$	$0{,}02$	$0{,}014$

a1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(D) = 0{,}20\cdot 0{,}05 + 0{,}10\cdot 0{,}04 + 0{,}70\cdot 0{,}02 = 0{,}010 + 0{,}004 + 0{,}014 = 0{,}028

P(\overline{D}) = 1 - 0{,}028 = 0{,}972

a2) Por el teorema de Bayes:

P(B \mid D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}10\cdot 0{,}04}{0{,}028} = \frac{0{,}004}{0{,}028} = \frac{1}{7} \approx 0{,}1429

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Sea

X

= número de preguntas acertadas de las cinco. Cada pregunta se contesta al azar, independientemente de las demás, y la probabilidad de acierto

p

es la misma en todas, así que

X \sim B(5, p)

. Se aprueba si

X \geq 3

P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

b1) Con dos ítems,

p = \frac{1}{2} = 0{,}5

, y

X \sim B(5;\ 0{,}5)

. En la columna

p = 0{,}50

de la tabla:

P(X \geq 3) = 0{,}3125 + 0{,}1563 + 0{,}0313 = 0{,}5001 \approx 0{,}5

(El valor exacto es

\frac{10 + 5 + 1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}

; la cuarta cifra decimal es efecto del redondeo de la tabla. Tiene sentido: con

p = 0{,}5

la distribución es simétrica y

P(X \geq 3) = P(X \leq 2)

.)

b2) Con cuatro ítems,

p = \frac{1}{4} = 0{,}25

, y

X \sim B(5;\ 0{,}25)

. En la columna

p = 0{,}25

P(X \geq 3) = 0{,}0879 + 0{,}0146 + 0{,}0010 = 0{,}1035

Comprobación con la fórmula:

\binom{5}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^3\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \binom{5}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^4\frac{3}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{90 + 15 + 1}{1024} = \frac{106}{1024} = \frac{53}{512} \approx 0{,}1035

✓.

Con cuatro opciones, aprobar a ciegas es casi cinco veces menos probable que con dos.

Consejo

En a2) el dato es "resultó defectuosa": la condición va detrás de la barra, $P(B \mid D)$ , y el denominador es $P(D)$ , no $P(B)$ . No confundas $P(B \mid D)$ con $P(D \mid B) = 0{,}04$ .

En b), justifica que es una binomial (repeticiones independientes, dos resultados, $p$ fija) y di sus parámetros. "Al menos tres" es $X = 3, 4, 5$ : no te dejes el $X = 5$ .