Rectas y planos

Ecuaciones de $r$. Los normales de los planos son $\vec n_\alpha = (1, -2, 0)$ y $\vec n_\beta = (0, 2, 1)$:$$\vec n_\alpha \times \vec n_\beta = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2, -1, 2)$$Tomamos como vector director $\vec v = (2, 1, -2)$ (el opuesto, da igual). Para un punto, hacemos $y = 0$: de $\beta$, $z = 0$, y de $\alpha$, $x = 6$. Así $P(6, 0, 0) \in r$ y$$r \equiv \begin{cases} x = 6 + 2t \\ y = t \\ z = -2t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}$$a) Con $P(6, 0, 0)$: $\overrightarrow{PA} = (-1 - 6,\ 3 - 0,\ 0 - 0) = (-7, 3, 0)$.$$\overrightarrow{PA} \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -7 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-6,\ -14,\ -13)$$$$|\overrightarrow{PA} \times \vec v| = \sqrt{36 + 196 + 169} = \sqrt{401}, \qquad |\vec v| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$$$$d(A, r) = \frac{\sqrt{401}}{3} \approx 6{,}68 \text{ u}$$b) Un punto genérico de $r$ es $Q(6 + 2t,\ t,\ -2t)$, y$$\overrightarrow{AQ} = (7 + 2t,\ t - 3,\ -2t)$$La distancia es mínima cuando $\overrightarrow{AQ}$ es perpendicular a la recta:$$\overrightarrow{AQ} \cdot \vec v = 0 \;\Longrightarrow\; 2(7 + 2t) + (t - 3) - 2(-2t) = 0 \;\Longrightarrow\; 9t + 11 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{11}{9}$$$$Q = \left(6 - \frac{22}{9},\ -\frac{11}{9},\ \frac{22}{9}\right) = \left(\frac{32}{9},\ -\frac{11}{9},\ \frac{22}{9}\right)$$Comprobaciones. $Q$ está en los dos planos: $\frac{32}{9} + \frac{22}{9} = \frac{54}{9} = 6$ ✓ y $-\frac{22}{9} + \frac{22}{9} = 0$ ✓. Y su distancia a $A$ coincide con la de a):$$\overrightarrow{AQ} = \left(\frac{41}{9},\ -\frac{38}{9},\ \frac{22}{9}\right), \qquad |\overrightarrow{AQ}| = \frac{\sqrt{1681 + 1444 + 484}}{9} = \frac{\sqrt{3609}}{9} = \frac{3\sqrt{401}}{9} = \frac{\sqrt{401}}{3} \ \checkmark$$c) El plano $\pi$ pasa por $A$ y por $B$, así que contiene al vector $\overrightarrow{AB} = (3, -3, -1)$; y es paralelo a $r$, así que también contiene la dirección $\vec v = (2, 1, -2)$. Como no son proporcionales, determinan el plano, y su vector normal es$$\vec n = \overrightarrow{AB} \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (7,\ 4,\ 9)$$Plano por $A(-1, 3, 0)$ con normal $(7, 4, 9)$:$$7(x + 1) + 4(y - 3) + 9z = 0 \;\Longrightarrow\; 7x + 4y + 9z - 5 = 0$$Comprobaciones. $B$: $7\cdot 2 + 0 - 9 - 5 = 0$ ✓. $\vec n \cdot \vec v = 14 + 4 - 18 = 0$ ✓, luego $r$ es paralela al plano; y $P(6, 0, 0)$ no está en él ($42 - 5 = 37 \neq 0$), así que $r$ es paralela y no está contenida.