Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Castilla-La Mancha · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro

a \in \mathbb{R}

\left.\begin{array}{l} x - y - z = 1 \\ x + 2y + z = -4 \\ x - 4y - 3z = a^2 - 3 \end{array}\right\}

(1,5 puntos)

b) Resuélvelo razonadamente para el valor

a = -3

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ a \neq \pm 3:\ \text{incompatible};\quad a = \pm 3:\ \text{compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ x = \frac{\lambda - 2}{3},\quad y = \frac{-5 - 2\lambda}{3},\quad z = \lambda,\quad \lambda \in \mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí el parámetro solo aparece en los términos independientes, así que la matriz de coeficientes

A

es fija y su rango no depende de

a

. Calculamos

|A|

: si fuera distinto de cero el sistema sería siempre compatible determinado; como sale

0

, el rango de

A

2

y toda la discusión depende de si la matriz ampliada

A^*

tiene rango

2

3

.

La forma más limpia de verlo es escalonar la ampliada por Gauss: la última fila queda

(0\ 0\ 0 \mid a^2 - 9)

, y de ahí sale todo por Rouché-Frobenius. En b), con

a = -3

, el sistema es compatible indeterminado: nos quedamos con las dos ecuaciones independientes y escribimos la solución con un parámetro.

Desarrollo

a) Matrices de coeficientes y ampliada:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & -4 \\ 1 & -4 & -3 & a^2 - 3 \end{array}\right)

Rango de $A$ . Desarrollando por Sarrus:

|A| = 1\cdot 2\cdot(-3) + (-1)\cdot 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1\cdot(-4) - (-1)\cdot 2\cdot 1 - 1\cdot 1\cdot(-4) - (-1)\cdot 1\cdot(-3)

|A| = -6 - 1 + 4 + 2 + 4 - 3 = 0

y el menor

\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 + 1 = 3 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(A) = 2

para todo

a

.

Rango de $A^*$ . Escalonamos por Gauss:

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & -4 \\ 1 & -4 & -3 & a^2 - 3 \end{array}\right) \xrightarrow[F_3 - F_1]{F_2 - F_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & -5 \\ 0 & -3 & -2 & a^2 - 4 \end{array}\right) \xrightarrow{F_3 + F_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 - 9 \end{array}\right)

La última fila es

0 = a^2 - 9

, y

a^2 - 9 = 0 \iff a = 3

a = -3

.

Discusión (Rouché-Frobenius):

Si $a \neq 3$ y $a \neq -3$ : $a^2 - 9 \neq 0$ , $\operatorname{rg}(A) = 2 \neq \operatorname{rg}(A^*) = 3$ y el sistema es incompatible. Geométricamente, ningún par de planos es paralelo (sus vectores normales no son proporcionales) y se cortan dos a dos en tres rectas paralelas: forman un prisma.
Si $a = 3$ o $a = -3$ : la última fila es nula, $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$ incógnitas y el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro). Los tres planos se cortan en una misma recta.

b) Para

a = -3

estamos en el caso compatible indeterminado (

a^2 - 3 = 6

). El sistema escalonado queda

\left\{\begin{array}{l} x - y - z = 1 \\ 3y + 2z = -5 \end{array}\right.

Tomamos

z = \lambda

como parámetro. De la segunda ecuación:

3y = -5 - 2\lambda \;\Longrightarrow\; y = \frac{-5 - 2\lambda}{3}

y de la primera:

x = 1 + y + z = 1 + \frac{-5 - 2\lambda}{3} + \lambda = \frac{3 - 5 - 2\lambda + 3\lambda}{3} = \frac{\lambda - 2}{3}

Comprobación en la tercera ecuación original:

x - 4y - 3z = \frac{\lambda - 2}{3} - \frac{4(-5 - 2\lambda)}{3} - 3\lambda = \frac{\lambda - 2 + 20 + 8\lambda - 9\lambda}{3} = \frac{18}{3} = 6 = (-3)^2 - 3 \ \checkmark

Si se prefiere evitar fracciones, tomando

\lambda = 3\mu - 1

la misma recta de soluciones se escribe

(x, y, z) = (-1 + \mu,\ -1 - 2\mu,\ -1 + 3\mu)

\mu \in \mathbb{R}

: es la recta que pasa por

(-1, -1, -1)

con vector director

(1, -2, 3)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $|A| = 0$ para todo $a$ no significa que el sistema sea siempre indeterminado: hay que comparar con el rango de la ampliada, que es donde vive el parámetro. No olvides el valor $a = 3$ : $a^2 = 9$ tiene dos soluciones y muchos alumnos solo ven la del apartado b).

En b) comprueba la solución en la ecuación que no has usado: si sale $6$ , todo cuadra.