Después de la administración por vía oral de un fármaco, la concentración de este en sangre sigue el modelo: C(t) = a t^2 e^{-bt}, donde t \in [0, +\infty) es el tiempo en horas transcurridas desde la administración y a, b \in \mathbb{R}^+. a) Determina los valores de a y b para que el modelo de la concentración tenga un extremo relativo en el punto (2,\ 8e^{-2}). (1,5 puntos) b) Según el modelo anterior, ¿a qué valor tiende la concentración de este fármaco a largo plazo? Interpreta el resultado. (1 punto) Nota: A largo plazo se entiende como que t \to +\infty.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

Después de la administración por vía oral de un fármaco, la concentración de este en sangre sigue el modelo:

C(t) = a t^2 e^{-bt}

, donde

t \in [0, +\infty)

es el tiempo en horas transcurridas desde la administración y

a, b \in \mathbb{R}^+

.

a) Determina los valores de

a

b

para que el modelo de la concentración tenga un extremo relativo en el punto

(2,\ 8e^{-2})

. (1,5 puntos)

b) Según el modelo anterior, ¿a qué valor tiende la concentración de este fármaco a largo plazo? Interpreta el resultado. (1 punto)

Nota: A largo plazo se entiende como que

t \to +\infty

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ a = 2,\ b = 1:\ C(t) = 2t^2e^{-t},\ \text{máximo relativo en } (2,\ 8e^{-2})\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \lim_{t\to+\infty} C(t) = 0:\ \text{el fármaco se acaba eliminando de la sangre}\;}

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Estrategia

"Tener un extremo relativo en el punto

(2,\ 8e^{-2})

" son dos condiciones a la vez: que la derivada se anule en

t = 2

(es un extremo) y que la gráfica pase por ese punto,

C(2) = 8e^{-2}

. Con dos incógnitas y dos ecuaciones, el sistema se resuelve casi solo: la condición de la derivada da

b

y la del punto da

a

. Al final conviene comprobar con el signo de

C'

que de verdad hay un extremo (y de qué tipo).

En b) hay que calcular

\lim_{t \to +\infty} 2t^2 e^{-t}

, que es del tipo

\infty \cdot 0

. Se escribe como cociente

\frac{2t^2}{e^t}

y se resuelve con L'Hôpital (o recordando que la exponencial crece más rápido que cualquier polinomio). Luego, interpretar: qué significa para el fármaco.

Desarrollo

a) Derivamos con la regla del producto (y la de la cadena para

e^{-bt}

C'(t) = a\left(2t\,e^{-bt} + t^2 \cdot (-b)\,e^{-bt}\right) = a\,t\,e^{-bt}\,(2 - bt)

Condición de extremo en $t = 2$ :

C'(2) = 0 \;\Longrightarrow\; 2a\,e^{-2b}\,(2 - 2b) = 0

Como

a > 0

e^{-2b} > 0

, solo puede anularse el último factor:

2 - 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 1

.

Condición de paso por el punto:

C(2) = 8e^{-2} \;\Longrightarrow\; a \cdot 4 \cdot e^{-2} = 8e^{-2} \;\Longrightarrow\; a = 2

Ambos valores son positivos, como exige el enunciado.

Comprobación del extremo. Con

a = 2

b = 1

C(t) = 2t^2 e^{-t}, \qquad C'(t) = 2t\,e^{-t}\,(2 - t)

Para

t > 0

, los factores

2t

e^{-t}

son positivos, así que el signo de

C'

es el de

2 - t

Intervalo	$(0, 2)$	$(2, +\infty)$
Signo de $C'(t)$	$+$	$-$
$C(t)$	crece	decrece

Hay un máximo relativo en

t = 2

: la concentración máxima se alcanza a las

2

horas y vale

C(2) = 8e^{-2} \approx 1{,}08

(en las unidades del modelo).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Calculamos el límite, que es una indeterminación

\infty \cdot 0

\lim_{t \to +\infty} 2t^2 e^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{2t^2}{e^{t}} \quad \left(\frac{\infty}{\infty}\right)

Aplicamos L'Hôpital dos veces:

\lim_{t \to +\infty} \frac{2t^2}{e^{t}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{4t}{e^{t}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{4}{e^{t}} = 0

(Es lo esperable: la exponencial crece más deprisa que cualquier potencia de

t

.)

Interpretación. A largo plazo la concentración del fármaco en sangre tiende a

0

: después de alcanzar el máximo a las

2

horas, el organismo lo va eliminando y, con el paso del tiempo, prácticamente desaparece de la sangre. Gráficamente, la recta

C = 0

es una asíntota horizontal de

C(t)

cuando

t \to +\infty

Consejo

No basta con $C'(2) = 0$ : "extremo en el punto $(2,\ 8e^{-2})$ " también obliga a que $C(2)$ valga $8e^{-2}$ . Si usas solo una condición te quedas con una incógnita libre.

Al derivar, saca factor común $t\,e^{-bt}$ : la ecuación queda en un producto y se ve enseguida que solo puede anularse $(2 - bt)$ . Y en b) no te quedes en el número: el enunciado pide interpretar, así que explica qué le pasa al fármaco.