Unos estudiantes de bachillerato han programado una hoja de cálculo como la de la siguiente figura que da la solución de un sistema de ecuaciones compatible determinado de manera automática:Hoja de cálculo con las columnas x, y, z: en las filas 6, 7 y 8, los coeficientes 1, 2, −1 | −6; 1, −1, −2 | −3; 2, 1, 2 | 6, con el 2 de la celda E8 enmarcado. A la derecha, «sistema: COMPATIBLE DETERMINADO» y las casillas x = 1, y = −2 y z = 3a) (1 punto) Escriba el sistema y compruebe que los valores propuestos como solución son correctos. b) (1 punto) ¿Qué valor debería ponerse en lugar del 2 que está enmarcado en la imagen, correspondiente a la celda E8 (a33 de la matriz de coeficientes), para que el sistema fuera incompatible?
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Solución oficial
Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) El sistema es⎩⎨⎧x+2y−z=−6x−y−2z=−32x+y+2z=6y la solución⎩⎨⎧1+2⋅(−2)−3=−61−(−2)−2⋅3=−32⋅1+(−2)+2⋅3=6es correcta. b) Estudiamos el rango de la matriz A=1122−11−1−2t según el parámetro t:1122−11−1−2t=−t−8−1−2+2−2t=−3t−9;−3t−9=0,es decir, para t=−3 tenemos rango A=3 y, por tanto, rango máximo y el sistema sería compatible determinado. ¿Qué pasa cuando t=−3? Como 112−1=−3=0, entonces, rango A=2. Estudiamos el rango de la matriz ampliada: A′=1122−11−1−2−3−6−36. Siempre tenemos el menor:1122−11−6−36=−6−12−6−12+3−12=0;por tanto, el rango de la matriz ampliada es 3. Tenemos, pues, rango A=2 y rango A′=3; por tanto, el sistema es incompatible. Entonces, el valor 2 enmarcado se debería cambiar por un −3. Pautas de corrección a)
0,5 p. por el sistema.
0,5 p. por la comprobación de la solución.
b)
0,25 p. por el planteamiento del sistema parametrizado.
0,25 p. por el punto singular.
0,25 p. por la discusión del caso t=−3.
0,25 p. por la discusión del caso t=−3 y la conclusión final.
