Límites y continuidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$ por tratarse de una suma de funciones continuas en su dominio, como son la función raíz cuadrada y las funciones polinómicas.

Los valores en los extremos $f(0) = -2 < 0$ y $f(2) = \sqrt{2} > 0$ tienen signo diferente, es decir, $f(0)\cdot f(2) < 0$; por tanto, sí se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano.

Así pues, la función cambia de signo dentro del intervalo indicado y, por tanto, aplicando el teorema de Bolzano, como mínimo existe un punto dentro del intervalo abierto $(0, 2)$ en que su imagen es cero.

$f(1) = 1 + 1 - 2 = 0$ y, por tanto, efectivamente $x = 1$ es solución de la ecuación $f(x) = 0$.

La función derivada $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 1 > 0$ es positiva en todo el dominio de la función y, por tanto, la función $f(x)$ es estrictamente creciente y, por tanto, después de cortar el eje de abscisas una vez, la gráfica no puede volver a cortarlo.

b) Como $x = 1$ es el único punto en que la función corta el eje de abscisas, la función $f(x)$ tiene signo constante en el intervalo $(0, 1)$ y, por tanto, el área que se pide se puede calcular con$$A = \left|\int_0^1 \left(\sqrt{x} + x - 2\right)\,dx\right| = \left|\left(\frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^2}{2} - 2x\right)\Bigg|_0^1\right| = \left|\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\right| = \left|\frac{-5}{6}\right| = \boxed{\frac{5}{6}\ u^2}$$Observación: También se dará por buena la resolución si el estudiante plantea la integral sin el valor absoluto y cambia el signo después de haber visto el resultado negativo. Se penalizará dar como respuesta del área un valor negativo.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por la continuidad de la función y las imágenes en los extremos.
• 0,25 p. por la argumentación del signo diferente y la conclusión de existencia de solución.
• 0,25 p. por la comprobación en $x = 1$ y la derivada de la función.
• 0,25 p. por el argumento de monotonía de la función y unicidad de la solución.

b)

• 0,25 p. por la argumentación del signo constante.
• 0,25 p. por el planteamiento de la integral.
• 0,25 p. por la primitiva.
• 0,25 p. por la aplicación de la regla de Barrow y el cálculo final.