Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Un vector dirección de $r$ es:$$(1, 1, 0)\times(0, 2, 3) = \begin{vmatrix} i & 1 & 0 \\ j & 1 & 2 \\ k & 0 & 3 \end{vmatrix} = (3, -3, 2).$$El vector $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2, 2, 2)$ o, equivalentemente, $(1, 1, 1)$.

Buscamos un plano paralelo a los dos vectores que acabamos de calcular, $(3, -3, 2)$ y $(1, 1, 1)$. Por tanto, un vector normal del plano que buscamos será$$\vec n = (3, -3, 2)\times(1, 1, 1) = (5, 1, -6).$$La ecuación del plano que pasa por $P$ y tiene vector normal $\vec n$ es:$$5(x - 3) + (y + 2) - 6(z - 1) = 0.$$Su ecuación general es $\boxed{5x + y - 6z = 7}$.

b) Calculamos el vector $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2, 2, 2)$ o, equivalentemente, $(1, 1, 1)$ (si no se ha hecho en el apartado anterior).

Y el vector $\overrightarrow{PR} = R - P = (-2, 4, 2)$ o, equivalentemente, $(-1, 2, 1)$.

Calculamos el vector normal al plano: $\vec n = (1, 1, 1)\times(-1, 2, 1) = (-1, -2, 3)$.

Para que los dos planos sean paralelos hace falta que los respectivos vectores normales sean proporcionales, es decir, que $\dfrac{1}{-1} = \dfrac{2}{-2} = \dfrac{m}{3}$. Por tanto, $\boxed{m = -3}$.

Comprobamos que los planos no son coincidentes porque el punto $P$, por ejemplo, no pertenece a él: $x + 2y - 3z \neq 7$; efectivamente, $3 - 4 - 3 \neq 7$.

Observación: La comprobación de la no coincidencia de los planos se puede probar también a partir de la no proporcionalidad de los términos independientes.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el vector director de la recta $r$.
• 0,25 p. por el vector que une $P$ y $Q$.
• 0,25 p. por el planteamiento de la ecuación general.
• 0,25 p. por el cálculo final.

b)

• 0,25 p. por el vector normal del plano.
• 0,25 p. por el planteamiento del paralelismo a partir de la proporcionalidad.
• 0,25 p. por el valor de $m$.
• 0,25 p. por la comprobación de que los planos no son el mismo.