Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La pendiente de la recta $x + 3y = 0$, es decir, $y = (-1/3)\,x$, es $-1/3$. Para encontrar una recta tangente paralela, hay que encontrar los puntos en que la derivada de la función es igual a $-1/3$.$$f'(x) = 3x^2 - 2x$$$3x^2 - 2x = -\dfrac{1}{3}$; por tanto, $9x^2 - 6x + 1 = 0$.

Resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos $x = \dfrac{1}{3}$.

Para encontrar la recta tangente pedida:$$f'\!\left(\frac{1}{3}\right) = 3\cdot\frac{1}{9} - 2\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\ \text{(como ya sabíamos)}$$$$f\!\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} = -\frac{2}{27}$$La ecuación de la recta tangente es: $y + \dfrac{2}{27} = -\dfrac{1}{3}\left(x - \dfrac{1}{3}\right)$ o, desarrollando, $y = \dfrac{-x}{3} + \dfrac{1}{27}$, o alternativamente, $9x + 27y = 1$.

b) Para calcular los puntos de máximo o mínimo y las inflexiones necesitamos tener las derivadas:$$f(x) = x^3 - x^2$$$$f'(x) = 3x^2 - 2x$$$$f''(x) = 6x - 2$$Para calcular los candidatos a máximo o mínimo, resolvemos $f'(x) = 0$ y obtenemos $x = 0$ y $x = \dfrac{2}{3}$.

Para clasificar estos puntos singulares, los sustituimos en la derivada segunda:

$f''(0) = -2 < 0$; por tanto, en $x = 0$ la función tiene un máximo relativo, $M = (0, 0)$.

$f''\!\left(\dfrac{2}{3}\right) = 2 > 0$; por tanto, en $x = \dfrac{2}{3}$ la función tiene un mínimo relativo, $m = \left(\dfrac{2}{3}, -\dfrac{4}{27}\right)$.

Para obtener los candidatos a inflexión, resolvemos $f''(x) = 0$ y obtenemos $x = \dfrac{1}{3}$.

Para decidir si es inflexión, miramos el signo de la derivada segunda en el entorno de la abscisa $x = \dfrac{1}{3}$.$$f''(x) = 6x - 2$$$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right),\quad f'' < 0,$$$$\left(\frac{1}{3}, +\infty,\right),\quad f'' > 0,$$por tanto, en $x = \dfrac{1}{3}$ hay un cambio de concavidad y, por tanto, en este punto tenemos la única inflexión, $I = \left(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{27}\right)$.

Observación: En el enunciado se piden «los puntos de la gráfica»; por tanto, hay que explicitar la abscisa y la ordenada de los puntos. En el caso de contestar correctamente solo las abscisas, se aplicará solo una vez la penalización de 0,25 puntos.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por la pendiente de la recta propuesta.
• 0,25 p. por la derivada primera y el punto en que hay que hacer la recta tangente.
• 0,25 p. por la fórmula de la recta tangente (sea en general o aplicada al caso).
• 0,25 p. por la expresión de la recta tangente.

b)

• 0,25 p. por las derivadas.
• 0,25 p. por el máximo relativo.
• 0,25 p. por el mínimo relativo.
• 0,25 p. por la inflexión.