Matemáticas IIMedio2 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Cataluña · 2018 · Junio

Enunciado

Sea

r

la recta que pasa por los puntos

A = (0, 1, 1)

B = (1, 1, -1)

.

a) (1 punto) Encuentre la ecuación paramétrica de la recta

r

.

b) (1 punto) Calcule todos los puntos de la recta

r

que están a la misma distancia de los planos

\pi_1\colon x + y = -2

\pi_2\colon x - z = 1

.

Nota: Puede calcular la distancia de un punto de coordenadas

(x_0, y_0, z_0)

al plano de ecuación

Ax + By + Cz + D = 0

con la expresión

\dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r\colon\ \begin{cases} x = t \\ y = 1 \\ z = 1 - 2t \end{cases}\;}

\boxed{\;P_1 = \left(\frac{5}{2}, 1, -4\right)\;}\qquad \boxed{\;P_2 = \left(-\frac{1}{4}, 1, \frac{3}{2}\right)\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Recta por

A = (0, 1, 1)

B = (1, 1, -1)

. Si tomamos como punto por el que tiene que pasar la recta el punto

A

y como vector director el vector

\overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0, -2)

(x, y, z) = (0, 1, 1) + t(1, 0, -2).

En forma paramétrica será:

\begin{cases} x = t \\ y = 1 \\ z = 1 - 2t \end{cases}

o, equivalentemente,

(x, y, z) = (t, 1, 1 - 2t)

.

b) Planteamos la igualdad de las dos distancias a partir de los puntos de la recta en forma paramétrica:

\frac{|t + 1 + 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|t - 1 + 2t - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}

Eliminamos los denominadores porque son iguales y nos queda

|t + 3| = |3t - 2|

De aquí obtenemos dos posibilidades:

$t + 3 = 3t - 2 \;\Rightarrow\; t = \dfrac{5}{2} \;\Rightarrow\; P_1 = \left(\dfrac{5}{2}, 1, -4\right)$
$t + 3 = -3t + 2 \;\Rightarrow\; t = -\dfrac{1}{4} \;\Rightarrow\; P_2 = \left(-\dfrac{1}{4}, 1, \dfrac{3}{2}\right)$