Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

También trata: Determinantes
Cataluña · 2018 · Junio
Enunciado
Sean las matrices M=(120−1t2)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ t & 2 \end{pmatrix} y N=(−1t210−1)N = \begin{pmatrix} -1 & t & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

a) (1 punto) Calcule M⋅NM \cdot N y compruebe que la matriz resultante no es invertible.

b) (1 punto) Encuentre los valores de tt para los cuales la matriz N⋅MN \cdot M es invertible.
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Resultado
  M⋅N=(1t0−1012−tt22t−2),∣M⋅N∣=0  \boxed{\;M\cdot N = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2-t & t^2 & 2t-2 \end{pmatrix},\quad |M\cdot N| = 0\;}  N⋅M es invertible si t≠1 y t≠2  \boxed{\;N\cdot M \text{ es invertible si } t \neq 1 \text{ y } t \neq 2\;}
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)M⋅N=(120−1t2)⋅(−1t210−1)=(1t0−1012−tt22t−2)M\cdot N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ t & 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 & t & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2-t & t^2 & 2t-2 \end{pmatrix}∣M⋅N∣=2t−t2−t2+2t2−2t=0|M\cdot N| = 2t - t^2 - t^2 + 2t^2 - 2t = 0; por tanto, la matriz no es invertible (sea cual sea el valor de tt).

b)N⋅M=(−1t210−1)⋅(120−1t2)=(2t−12−t1−t0)N\cdot M = \begin{pmatrix} -1 & t & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ t & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t-1 & 2-t \\ 1-t & 0 \end{pmatrix}∣N⋅M∣=∣2t−12−t1−t0∣=−(1−t)⋅(2−t).|N\cdot M| = \begin{vmatrix} 2t-1 & 2-t \\ 1-t & 0 \end{vmatrix} = -(1-t)\cdot(2-t).Es inmediato ver que el determinante se anula para t=1t = 1 y t=2t = 2.

Por tanto, la matriz es invertible para cualquier valor de tt diferente de 1 y 2.

Pautas de corrección

a)
  • 0,5 p. por el producto.
  • 0,25 p. por el determinante.
  • 0,25 p. por la conclusión.
b)
  • 0,25 p. por el producto.
  • 0,25 p. por el determinante.
  • 0,25 p. por los puntos singulares.
  • 0,25 p. por la conclusión.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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