Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La gráfica de $f(x) = x^2 - 1$ corta el eje $OX$ en los puntos de abscisa $x = 1$ y $x = -1$. Por tanto, los puntos de corte con el eje de abscisas son $\boxed{(-1, 0) \text{ y } (1, 0)}$.

El vértice (mínimo) está en el punto medio entre las soluciones, $x = 0$, con ordenada $f(0) = -1$ y, por tanto, el $\boxed{\text{vértice es el punto } (0, -1)}$.

La gráfica de $g(x) = 3 - x^2$ corta el eje $OX$ en los puntos $x = \sqrt{3}$ y $x = -\sqrt{3}$. Por tanto, los puntos de corte con el eje de abscisas son $\boxed{\left(\sqrt{3}, 0\right) \text{ y } \left(-\sqrt{3}, 0\right)}$.

El vértice (máximo) está en el punto medio entre las soluciones, $x = 0$, con ordenada $g(0) = 3$ y, por tanto, el $\boxed{\text{vértice es el punto } (0, 3)}$.

Calculamos los puntos de corte entre las dos gráficas:$$x^2 - 1 = 3 - x^2$$$$2x^2 = 4$$$$x^2 = 2$$Por tanto, los puntos de corte están en las abscisas $x = \sqrt{2}$ y $x = -\sqrt{2}$, con valor $f\!\left(\sqrt{2}\right) = g\!\left(\sqrt{2}\right) = 1$ y $f\!\left(-\sqrt{2}\right) = g\!\left(-\sqrt{2}\right) = 1$. Así pues, los puntos de intersección de las gráficas son $\boxed{\left(\sqrt{2}, 1\right) \text{ y } \left(-\sqrt{2}, 1\right)}$.

b) En el dibujo se ve que el eje $OY$ es un eje de simetría del área comprendida entre las dos gráficas. Este hecho nos permite hacer el cálculo del área en el primer cuadrante y multiplicar por 2.

Como nos piden el área en el semiplano $y \geq 0$, el cálculo del área pedida es:$$2\int_0^1 \left(3 - x^2\right)dx + 2\int_1^{\sqrt{2}} \left(\left(3 - x^2\right) - \left(x^2 - 1\right)\right)dx =$$$$= 2\left(3x - \frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 + 2\left(4x - 2\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_1^{\sqrt{2}} = 2\,\frac{8}{3} + 2\left(4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} - 4 + \frac{2}{3}\right) = \boxed{\frac{16\sqrt{2} - 4}{3}\ u^2} = \boxed{6{,}21\ u^2}$$Comentario: Cualquier otro cálculo equivalente y correcto será igualmente bien valorado.

Pautas de corrección

a)

0,25 p. Por las raíces.

0,25 p. Por los vértices.

0,25 p. Por los puntos de intersección.

0,25 p. Por el esbozo.

b)

0,25 p. Por las integrales que hay que calcular.

0,25 p. Por las primitivas.

0,25 p. Por la aplicación correcta de la regla de Barrow.

0,25 p. Por el cálculo final del área.