Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La ecuación del plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$ se puede obtener (a partir, por ejemplo, del punto $C$ y de los vectores directores $\overrightarrow{CB}$ y $\overrightarrow{CA}$):$$\begin{vmatrix} x - 1 & 2 & 0 \\ y & 5 & 1 \\ z & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0.$$De ello resulta $2z = 0$, es decir, $\boxed{z = 0}$.

Ahora encontramos la intersección con la recta $r$:

$x = y - 1 = \dfrac{z}{2}$; por tanto, los puntos de la recta $r$ son de la forma $(x, y, z) = (\lambda, 1 + \lambda, 2\lambda)$. Como $z = 0$, obtenemos $\lambda = 0$ y, por tanto, el punto de intersección es $\boxed{(0, 1, 0)}$.

b) Los puntos $P$ de la recta $r$ son de la forma $P = (\lambda, 1 + \lambda, 2\lambda)$.

Calculamos el volumen del tetraedro: $V = \dfrac{1}{6}\left|\det\left(\overrightarrow{CP}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\right)\right|$; por tanto,$$\frac{1}{6}\left|\begin{vmatrix} \lambda - 1 & 0 & 2 \\ \lambda + 1 & 1 & 5 \\ 2\lambda & 0 & 0 \end{vmatrix}\right| = 2.$$Es decir, $\dfrac{1}{6}\,|-4\lambda| = 2$; o sea, $|\lambda| = 3$ y, por tanto, hay dos soluciones: $\lambda = 3$ y $\lambda = -3$, y de aquí resulta $\boxed{P_1 = (3, 4, 6) \text{ y } P_2 = (-3, -2, -6)}$.

Pautas de corrección

a)

0,5 p. Por la ecuación del plano.

0,5 p. Por la intersección.

b)

0,25 p. Por la expresión general de los puntos de $r$.

0,25 p. Por el planteamiento de la igualdad.

0,25 p. Por un punto solución.

0,25 p. Por el otro punto solución.