Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La matriz $A$ no tendrá inversa si y solo si el determinante de $A$ es 0.

Hacemos el determinante de la matriz $A$:$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -\alpha^2 - 1 = 0.$$No tiene solución real.

Esto quiere decir que la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor de $\alpha$.

Comentario: Es muy posible que haya alumnos que se equivoquen al resolver la ecuación y den como solución que $A$ no tiene inversa cuando $\alpha = 1$ o $\alpha = -1$. Este error no afectará al apartado b.

b) Ahora hacemos $\alpha = 0$ y buscamos la matriz $A^2$:$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$Para ver que $A^2$ tiene inversa, comprobamos que tiene determinante distinto de cero. Efectivamente,$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0.$$La matriz inversa de $A^2$ es$$\left(A^2\right)^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{t} = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$Pautas de corrección

a)

0,25 p. Por la condición de inversa.

0,25 p. Por el cálculo del determinante.

0,25 p. Por la resolución de la igualdad.

0,25 p. Por la respuesta final al problema.

b)

0,25 p. Por el cálculo de la matriz al cuadrado.

0,25 p. Por la comprobación de que la matriz tiene inversa.

0,25 p. Por los cálculos intermedios de la matriz inversa.

0,25 p. Por la matriz inversa final.