Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La matriz de coeficientes y la ampliada, $A$ y $A'$, son las siguientes:$$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & a & 0 & 2a \end{array}\right)$$donde $A$ está formada por las tres primeras columnas.

Calculamos $\det(A) = 0$:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & a & 0 \end{vmatrix} = 2a - 4$$Que se anula para $a = 2$.

• Caso $a \neq 2$. $\text{Rang}(A) = \text{Rang}(A') = 3 =$ número de incógnitas. Por tanto, es un SCD.
• Caso $a = 2$.

$$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 4 \end{array}\right)$$Se observa que las dos primeras columnas son iguales. Por tanto, todos los menores que las incluyan valdrán cero. A partir de aquí, el único determinante de orden 3 que hay que considerar en $A'$ es$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix},$$que también vale cero; por tanto, $\text{rang}(A') < 3$. Como el menor de $A$ $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \neq 0$, entonces $\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 2 < 3 =$ número de incógnitas y, por tanto, es un SCI con $(3 - 2 = 1)$ un grado de libertad.

b) El sistema se puede resolver por determinantes o bien de manera tradicional (igualación/sustitución/reducción). Es un sistema compatible determinado con solución $x = 0$, $y = 2$ y $z = 1$.

Pautas de corrección

a)

0,25 p. Por el planteamiento matricial de la discusión.

0,25 p. Por el cálculo del valor singular que hay que discutir.

0,25 p. Por el caso $a \neq 2$.

0,25 p. Por el caso $a = 2$.

b)

0,25 p. Por identificar que el sistema es SCD.

0,25 p. Por el valor de $x$.

0,25 p. Por el valor de $y$.

0,25 p. Por el valor de $z$.