Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) A partir de $f'(x) = 3x^2 - 2ax + b$ y de la recta tangente $y = x + 3$, obtenemos que $f(0) = 3$ y $m = f'(0) = 1$.

Las condiciones para la función $f$ en los puntos de abscisa 1 y 0 son:$$\begin{cases} f'(1) = 3 - 2a + b = 0 \\ f'(0) = b = 1 \\ f(0) = c = 3 \end{cases} \;\Rightarrow\; a = 2$$b) La función es $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.

Si hacemos $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = 0$, las abscisas de los posibles extremos son $x = 1$ y $x = \dfrac{1}{3}$.

Con la segunda derivada $f''(x) = 6x - 4$ deducimos:

• $f''(1) = 2 > 0$; por tanto, hay un mínimo relativo en $x = 1$.
• $f''\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = 2 - 4 < 0$; por tanto, hay un máximo relativo en $x = \dfrac{1}{3}$.

Pautas de corrección

a)

0,25 p. Por la función derivada.

0,25 p. Por la información a partir de la recta tangente.

0,25 p. Por el planteamiento de las condiciones.

0,25 p. Por el cálculo de los valores de los tres parámetros.

b)

0,25 p. Por la función y su derivada.

0,25 p. Por el cálculo de los candidatos a extremos relativos.

0,25 p. Por la clasificación de $x = 1$.

0,25 p. Por la clasificación de $x = 1/3$.