Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Junio · Opción B

También trata: Derivadas y aplicaciones · Límites y continuidad

Enunciado

Dada la función

f

definida por

f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}

, para cualquier valor real

x \neq 0

, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función

f

(2 puntos) y los extremos relativos de la función

f

. (1 punto)

b) Las asíntotas de la curva

y = f(x)

. (3 puntos)

c) El área de la región plana limitada por la curva

y = \dfrac{x^2 + 1}{x}

1 \le x \le e

, el segmento que une los puntos

(1, 0)

(e, 0)

, y las rectas

x = 1

x = e

. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) Crece en } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty),\ \text{decrece en } (-1, 0) \cup (0, 1);\ \text{máx. rel. } (-1, -2),\ \text{mín. rel. } (1, 2)}

\boxed{\text{b) A.V. } x = 0;\ \text{A.O. } y = x;\ \text{sin A.H.}}

\boxed{\text{c) Área} = \frac{e^2 + 1}{2} \approx 4{,}1945\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo es más cómodo si se separa la fracción:

f(x) = x + \dfrac{1}{x}

En a) la derivada es $1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ ; su denominador es siempre positivo, así que el signo lo da $x^2 - 1$ . Ojo con $x = 0$ : no está en el dominio y separa los intervalos.
En b) la forma $x + \frac{1}{x}$ casi da las asíntotas a la vista: $\frac{1}{x}$ explota en $0$ (asíntota vertical) y se anula en el infinito, así que la curva se pega a la recta $y = x$ (asíntota oblicua).
En c) el segmento entre $(1, 0)$ y $(e, 0)$ es el eje de abscisas; como $f > 0$ en $[1, e]$ , el área es la integral de $f$ entre $1$ y $e$ , que es inmediata.

Desarrollo

a) Dominio y derivada.

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{0\}

y, en él,

f(x) = x + \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}

Puntos críticos.

f'(x) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x = -1

x = 1

.

Signo de $f'$ . Como

x^2 > 0

en todo el dominio, el signo de

f'

es el de

x^2 - 1

. Con los puntos

-1

0

(fuera del dominio) y

1

	$(-\infty, -1)$	$(-1, 0)$	$(0, 1)$	$(1, +\infty)$
Signo de $x^2 - 1$ (p. ej. $x = -2,\ -\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ 2$ )	$+$	$-$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	decrece	crece

$f$ es creciente en $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ , es decir, cuando $|x| > 1$ .
$f$ es decreciente en $(-1, 0) \cup (0, 1)$ , es decir, cuando $0 < |x| < 1$ .

Extremos relativos.

En $x = -1$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en $(-1, f(-1)) = (-1, -2)$ .
En $x = 1$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en $(1, f(1)) = (1, 2)$ .

(Que el máximo esté más bajo que el mínimo no es contradictorio: están en ramas distintas, separadas por la asíntota

x = 0

.)

b) Asíntota vertical. En

x = 0

, el numerador tiende a

1

y el denominador a

0

\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2 + 1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x\to 0^-} \frac{x^2 + 1}{x} = -\infty

luego

x = 0

es asíntota vertical. No hay más:

f

es continua en el resto de su dominio.

Asíntota horizontal.

\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} \left(x + \frac{1}{x}\right) = \pm\infty

: no tiene.

Asíntota oblicua

y = mx + n

m = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1, \qquad n = \lim_{x\to\pm\infty} \big(f(x) - x\big) = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x} = 0

luego

y = x

es asíntota oblicua en

-\infty

y en

+\infty

. Como

f(x) - x = \frac{1}{x}

, la curva va por encima de la asíntota cuando

x > 0

y por debajo cuando

x < 0

.

c) El recinto. El segmento que une

(1, 0)

(e, 0)

está sobre el eje de abscisas. En

[1, e]

x > 0

, así que

f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} > 0

: la curva va siempre por encima del eje y no lo corta. El área es

\text{Área} = \int_1^e \left(x + \frac{1}{x}\right) dx

Primitiva. Inmediata:

\int \left(x + \frac{1}{x}\right) dx = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + K

Regla de Barrow. Con

\ln e = 1

\ln 1 = 0

\text{Área} = \left[\frac{x^2}{2} + \ln x\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} + 1\right) - \left(\frac{1}{2} + 0\right) = \frac{e^2 + 1}{2} \approx 4{,}1945 \ \text{u}^2

Comprobación. En

[1, e]

la función vale entre

2

(mínimo en

x = 1

) y

f(e) = e + \frac{1}{e} \approx 3{,}09

, y el intervalo mide

e - 1 \approx 1{,}72

: el área debe estar entre

3{,}44

5{,}31

. ✓

Consejo

Al estudiar el signo de $f'$ , pon $x = 0$ en la recta aunque no anule la derivada: no está en el dominio y separa intervalos. Escribir «decrece en $(-1, 1)$ » es un error que penalizan.

Separar $\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ ahorra trabajo en los tres apartados: la derivada, la asíntota oblicua y la primitiva salen casi solas. Y en el área, di por qué $f > 0$ en $[1, e]$ .