Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Junio · Opción B

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Sea

T

un tetraedro de vértices

O = (0, 0, 0)

A = (1, 1, 1)

B = (3, 0, 0)

C = (0, 3, 0)

. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La ecuación del plano

\pi

que contiene a los puntos

A

B

C

(1 punto) y las ecuaciones de la recta

h_O

perpendicular a

\pi

que pasa por

O

. (2 puntos)

b) El punto de intersección de la altura

h_O

y el plano

\pi

. (3 puntos)

c) El área de la cara cuyos vértices son los puntos

A

B

C

(2 puntos) y el volumen del tetraedro

T

. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \pi: x + y + z = 3;\quad h_O: x = y = z\ \ \big((x, y, z) = \lambda(1, 1, 1)\big)}

\boxed{\text{b) } h_O \cap \pi = (1, 1, 1) = A}

\boxed{\text{c) Área}_{ABC} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60\ \text{u}^2;\quad V = \tfrac{3}{2}\ \text{u}^3}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Casi todo sale de un solo producto vectorial,

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}

es un vector normal al plano $\pi$ de la cara $ABC$ (apartado a);
por tanto es también el director de la altura $h_O$ , la recta que sale de $O$ perpendicular a esa cara;
y su módulo es el doble del área del triángulo $ABC$ (apartado c).

El punto de b) es el pie de la altura: se sustituye la paramétrica de

h_O

\pi

. El volumen, con el producto mixto de los tres vectores que salen de

O

Desarrollo

a) Vectores de la cara.

\overrightarrow{AB} = (3, 0, 0) - (1, 1, 1) = (2, -1, -1), \qquad \overrightarrow{AC} = (0, 3, 0) - (1, 1, 1) = (-1, 2, -1)

Vector normal.

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \big((-1)(-1) - (-1)\cdot 2,\; (-1)(-1) - 2\cdot(-1),\; 2\cdot 2 - (-1)(-1)\big) = (3, 3, 3)

Tomamos el proporcional

\vec n = (1, 1, 1)

.

Plano $\pi$ .

x + y + z + D = 0

y, por

B

3 + D = 0

, así que

\pi: x + y + z = 3

Comprobación.

A

1 + 1 + 1 = 3

✓;

C

0 + 3 + 0 = 3

✓.

Recta $h_O$ . Pasa por

O

y su director es el normal de

\pi

h_O: (x, y, z) = \lambda\,(1, 1, 1) \qquad \Longleftrightarrow \qquad h_O: x = y = z

En implícitas:

x - y = 0,\ y - z = 0

.

b) Pie de la altura. Un punto de

h_O

(\lambda, \lambda, \lambda)

; sustituyendo en

\pi

\lambda + \lambda + \lambda = 3 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1 \;\Longrightarrow\; h_O \cap \pi = (1, 1, 1)

¡Es el propio vértice

A

! La altura desde

O

cae justo sobre

A

, porque el vector

\overrightarrow{OA} = (1, 1, 1)

ya es perpendicular a la cara

ABC

.

c) Área de la cara $ABC$ . Es la mitad del módulo del producto vectorial de a):

\text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \frac{\sqrt{27}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}598 \ \text{u}^2

Volumen del tetraedro. Es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de

\overrightarrow{OA}

\overrightarrow{OB}

\overrightarrow{OC}

\left[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\right] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 - 0) - 1\cdot(0 - 0) + 1\cdot(9 - 0) = 9

V = \frac{1}{6}\,|9| = \frac{3}{2} \ \text{u}^3

Comprobación. Con base

ABC

y altura

d(O, \pi) = \overline{OA} = \sqrt{3}

V = \frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3} = \frac{3}{2}

✓.

Consejo

No olvides los factores: el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial y el volumen del tetraedro es la sexta parte del producto mixto (en valor absoluto). Sin ellos tendrías el paralelogramo y el paralelepípedo.

Que el pie de la altura salga $A$ no es un error: compruébalo viendo que $\overrightarrow{OA}$ es proporcional al normal. Y calcular el volumen de dos maneras te da la seguridad.