Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Junio · Opción B

También trata: Determinantes

Enunciado

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La comprobación de que

C^2 = 2C - I

, siendo

C = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}

I

la matriz identidad de orden

3\times 3

(2,5 puntos), y el cálculo de la matriz

C^4

. (2,5 puntos)

b) El valor del determinante de la matriz

\left(3A^4\right)\left(4A^2\right)^{-1}

, sabiendo que

A

es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale

-1

. (3 puntos)

c) La matriz

B

que admite inversa y que verifica la igualdad

BB = B

. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } C^2 = 2C - I\ ✓;\quad C^4 = 4C - 3I = \begin{pmatrix} 17 & -16 & 8 \\ 8 & -7 & 4 \\ -16 & 16 & -7 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b) } \left|\left(3A^4\right)\left(4A^2\right)^{-1}\right| = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}}

\boxed{\text{c) } B = I}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados se resuelven sin fuerza bruta, usando propiedades:

En a) hay que multiplicar $C\cdot C$ una vez y compararlo con $2C - I$ . Para $C^4$ no hace falta multiplicar más matrices: $C^4 = (C^2)^2 = (2C - I)^2$ , y como $C$ e $I$ conmutan, ese cuadrado se desarrolla como el de un binomio. Volviendo a usar $C^2 = 2C - I$ , todo queda en función de $C$ e $I$ .
En b) basta con las reglas del determinante: el de un producto es el producto de determinantes, el de una inversa es el inverso, y sacar un número $k$ de una matriz de orden $4$ multiplica por $k^4$ .
En c) se multiplica la igualdad por $B^{-1}$ .

Desarrollo

a) Cálculo de $C^2$ . Fila por columna:

C^2 = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 - 8 - 8 & -20 + 4 + 8 & 10 - 4 - 2 \\ 10 - 2 - 4 & -8 + 1 + 4 & 4 - 1 - 1 \\ -20 + 8 + 4 & 16 - 4 - 4 & -8 + 4 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}

Cálculo de $2C - I$ .

2C - I = \begin{pmatrix} 10 & -8 & 4 \\ 4 & -2 & 2 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}

Las dos matrices coinciden término a término:

C^2 = 2C - I

✓.

Cálculo de $C^4$ . Como

CI = IC = C

, el cuadrado de

2C - I

se desarrolla como el de un binomio:

C^4 = \left(C^2\right)^2 = (2C - I)^2 = 4C^2 - 4C + I

y sustituyendo otra vez

C^2 = 2C - I

C^4 = 4(2C - I) - 4C + I = 4C - 3I

C^4 = \begin{pmatrix} 20 & -16 & 8 \\ 8 & -4 & 4 \\ -16 & 16 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & -16 & 8 \\ 8 & -7 & 4 \\ -16 & 16 & -7 \end{pmatrix}

Comprobación. Multiplicando

C^2\cdot C^2

directamente, el primer término es

9\cdot 9 + (-8)\cdot 4 + 4\cdot(-8) = 81 - 32 - 32 = 17

✓.

b) Propiedades que usamos. Para matrices cuadradas de orden

4

|XY| = |X|\,|Y|

\ |X^{-1}| = \dfrac{1}{|X|}

\ |X^n| = |X|^n

|kX| = k^4\,|X|

.

Los dos factores. Con

|A| = -1

\left|3A^4\right| = 3^4\,|A|^4 = 81\cdot(-1)^4 = 81, \qquad \left|4A^2\right| = 4^4\,|A|^2 = 256\cdot 1 = 256

El determinante pedido.

\left|\left(3A^4\right)\left(4A^2\right)^{-1}\right| = \left|3A^4\right|\cdot\frac{1}{\left|4A^2\right|} = \frac{81}{256} = \frac{3^4}{4^4} \approx 0{,}3164

(La inversa existe porque

|4A^2| = 256 \neq 0

.)

c) Despejar $B$ . Como

B

admite inversa, multiplicamos

BB = B

por

B^{-1}

por la izquierda:

B^{-1}(BB) = B^{-1}B \;\Longrightarrow\; \left(B^{-1}B\right)B = I \;\Longrightarrow\; IB = I \;\Longrightarrow\; B = I

La única matriz invertible que cumple

BB = B

es la matriz identidad (del orden que tenga

B

Consejo

El fallo típico de b) es escribir $|3A^4| = 3\,|A|^4$ : un número que multiplica a una matriz de orden $n$ sale del determinante elevado a $n$ (aquí, a $4$ , porque $A$ tiene cuatro columnas).

En a), desarrollar $(2C - I)^2$ como un binomio solo vale porque $C$ e $I$ conmutan: dilo. Y en c), que $B$ sea invertible es lo que permite «simplificar» $B$ ; sin esa condición hay más soluciones (por ejemplo, la matriz nula).