Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Junio · Opción A

Se desea unir un punto $M$ situado en un lado de una calle, de $6$ m de anchura, con el punto $N$ situado en el otro lado de la calle, $18$ m más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde $M$ hasta un punto $P$, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto $P$ hasta el punto $N$. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que $M = (0, 6)$, $P = (x, 0)$ y $N = (18, 0)$. El cable $MP$ tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de $10$ €/m. El precio del cable $PN$ es de $5$ €/m.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El costo total $C$ de los dos cables en función de la abscisa $x$ del punto $P$, cuando $0 \le x \le 18$. (3 puntos)

b) El valor de $x$, con $0 \le x \le 18$, para el que el costo total $C$ es mínimo. (4 puntos)

c) El valor de dicho costo total mínimo. (3 puntos)