Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Junio · Opción A

Un punto y un vector de $r$. Restando la primera ecuación a la segunda: $y - 2 = 0$, así que $y = 2$. Con eso, la primera queda $x - z + 3 = 0$. Tomando $x = \lambda$:$$r: (x, y, z) = (0, 2, 3) + \lambda\,(1, 0, 1)$$Llamamos $Q = (0, 2, 3)$ y $\vec d_r = (1, 0, 1)$. (También sale $\vec d_r$ como producto vectorial de los normales: $(1, 1, -1)\times(1, 2, -1) = (1, 0, 1)$.)

a) $P$ no está en $r$: en la primera ecuación, $1 + 1 - 1 + 1 = 2 \neq 0$. Así que $P$ y $r$ determinan un único plano.

Vectores del plano. El director de $r$ y el que va de $Q$ a $P$:$$\vec d_r = (1, 0, 1), \qquad \overrightarrow{QP} = (1, 1, 1) - (0, 2, 3) = (1, -1, -2)$$Vector normal.$$\vec n = \vec d_r \times \overrightarrow{QP} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (0\cdot(-2) - 1\cdot(-1),\; 1\cdot 1 - 1\cdot(-2),\; 1\cdot(-1) - 0\cdot 1) = (1, 3, -1)$$Ecuación. $x + 3y - z + D = 0$ y, como pasa por $P$: $1 + 3 - 1 + D = 0$, luego $D = -3$:$$x + 3y - z - 3 = 0$$En paramétricas: $(x, y, z) = (1, 1, 1) + \lambda\,(1, 0, 1) + \mu\,(1, -1, -2)$.

Comprobación (y otro camino). Pasa por $Q$: $0 + 6 - 3 - 3 = 0$ ✓. Con el haz de planos de $r$, $\alpha(x + y - z + 1) + \beta(x + 2y - z - 1) = 0$, imponer que pase por $P$ da $2\alpha + \beta = 0$; con $\alpha = 1$, $\beta = -2$ sale $-x - 3y + z + 3 = 0$, el mismo plano.

b) Recta $s$. Al ser perpendicular a $\pi$, su vector director es el normal de $\pi$, $\vec n_\pi = (1, 1, 1)$:$$s: (x, y, z) = (1, 1, 1) + \lambda\,(1, 1, 1), \qquad \text{o, en continua, } x - 1 = y - 1 = z - 1$$Distancia de $P$ a $\pi$. Con $\pi: x + y + z - 1 = 0$:$$d(P, \pi) = \frac{|1 + 1 + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}1547 \ \text{u}$$Punto de corte. Un punto de $s$ es $(1 + \lambda, 1 + \lambda, 1 + \lambda)$; sustituyendo en $\pi$:$$3(1 + \lambda) = 1 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac{2}{3} \;\Longrightarrow\; s \cap \pi = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$$Comprobación. Ese punto es el pie de la perpendicular, así que su distancia a $P$ tiene que ser la del plano: $\sqrt{3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ✓.

c) Vectores de $\sigma$. Contiene a $r$, así que lleva $\vec d_r = (1, 0, 1)$ y el punto $Q = (0, 2, 3)$. Es perpendicular a $\pi$, así que el normal de $\pi$, $(1, 1, 1)$, es paralelo a $\sigma$.

Vector normal.$$\vec n_\sigma = \vec d_r \times \vec n_\pi = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 - 1,\; 1 - 1,\; 1 - 0) = (-1, 0, 1)$$Ecuación. $-x + z + D = 0$ y, por $Q$: $3 + D = 0$, luego$$\sigma: -x + z - 3 = 0$$Comprobación. $\vec n_\sigma \cdot \vec n_\pi = -1 + 0 + 1 = 0$: los planos son perpendiculares ✓. Y $\vec n_\sigma \cdot \vec d_r = -1 + 1 = 0$ con $Q \in \sigma$: $r$ está contenida en $\sigma$ ✓. (Es, de hecho, la ecuación $x - z + 3 = 0$ que salió al despejar $r$.)