Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Junio · Opción A

Matrices del sistema. La matriz de coeficientes y la ampliada son$$M = \begin{pmatrix} -1 & a & 2 \\ 2 & a & -1 \\ a & -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & a & 2 & a \\ 2 & a & -1 & 2 \\ a & -1 & 2 & a \end{array}\right)$$Determinante de $M$. Por la regla de Sarrus:$$|M| = (-1)\cdot a\cdot 2 + a\cdot(-1)\cdot a + 2\cdot 2\cdot(-1) - \big[\,2\cdot a\cdot a + (-1)\cdot(-1)\cdot(-1) + a\cdot 2\cdot 2\,\big]$$$$|M| = -2a - a^2 - 4 - 2a^2 + 1 - 4a = -3a^2 - 6a - 3 = -3\,(a + 1)^2$$a) Con $a = 2$ el determinante vale $|M| = -3\cdot 9 = -27 \neq 0$: el sistema tiene solución única. Queda$$\begin{cases} -x + 2y + 2z = 2 \\ 2x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 2z = 2 \end{cases}$$Reducimos por Gauss. Restando la tercera ecuación a la segunda: $3y - 3z = 0$, es decir, $y = z$. Llevándolo a la primera:$$-x + 4z = 2 \;\Longrightarrow\; x = 4z - 2$$Y sustituyendo las dos cosas en la segunda:$$2(4z - 2) + 2z - z = 2 \;\Longrightarrow\; 9z - 4 = 2 \;\Longrightarrow\; z = \frac{2}{3}$$de donde $y = \dfrac{2}{3}$ y $x = 4\cdot\dfrac{2}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}$.

Comprobación. Con $x = y = z = \frac{2}{3}$: $-\frac{2}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 2$ ✓, $\ \frac{4}{3} + \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = 2$ ✓, $\ \frac{4}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ ✓.

b) Discusión. $|M| = -3(a + 1)^2 = 0 \iff a = -1$.

Si $a \neq -1$, entonces $|M| \neq 0$, así que $\operatorname{rg} M = 3$. La ampliada tiene 3 filas, luego $\operatorname{rg} M^* = 3$ también, y coincide con el número de incógnitas. Por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado para todo $a \neq -1$.

c) Caso $a = -1$. El sistema queda$$\begin{cases} -x - y + 2z = -1 \\ 2x - y - z = 2 \\ -x - y + 2z = -1 \end{cases}$$Rangos. La primera y la tercera ecuación son idénticas (también en el término independiente), así que $M^*$ tiene dos filas iguales. El menor$$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 + 2 = 3 \neq 0$$da $\operatorname{rg} M = 2$, y como la tercera fila de $M^*$ repite la primera, $\operatorname{rg} M^* = 2$. Rango $2 <$ 3 incógnitas: el sistema es compatible indeterminado, con $3 - 2 = 1$ parámetro. Es el único valor de $a$ en que lo es (para los demás es determinado).

Soluciones. Basta con las dos primeras ecuaciones:$$\begin{cases} -x - y + 2z = -1 \\ 2x - y - z = 2 \end{cases}$$Restando la primera a la segunda: $3x - 3z = 3$, es decir, $x = z + 1$. Llevándolo a la primera: $y = -x + 2z + 1 = z$. Llamando $t = x$, queda $z = t - 1$ e $y = t - 1$:$$(x, y, z) = (t,\; t - 1,\; t - 1), \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. En la primera: $-t - (t - 1) + 2(t - 1) = -1$ ✓; en la segunda: $2t - (t - 1) - (t - 1) = 2$ ✓.