Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción B

Comunitat Valenciana · 2017 · Julio · Opción B
Enunciado
Se considera el triángulo TT de vértices O=(0,0)O = (0, 0), A=(x,y)A = (x, y) y B=(0,y)B = (0, y), siendo x>0x > 0, y>0y > 0, y tal que la suma de las longitudes de los lados OAOA y ABAB es 30 metros.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El área del triángulo TT en función de xx. (3 puntos)

b) El valor de xx para el que dicha área es máxima. (5 puntos)

c) El valor de dicha área máxima. (2 puntos)
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Resultado
a) A(x)=x900−60x2A(x) = \dfrac{x\sqrt{900 - 60x}}{2} m², con 0<x<150 < x < 15.

b) El área es máxima para x=10x = 10 m (entonces y=103y = 10\sqrt 3 m).

c) Área máxima: A(10)=503≈86,60A(10) = 50\sqrt 3 \approx 86{,}60 m².
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Conviene dibujar el triángulo: B=(0,y)B = (0, y) está en el eje OY y A=(x,y)A = (x, y) a su misma altura, así que el lado ABAB es horizontal y OBOB vertical. El triángulo es rectángulo en BB, con catetos AB=xAB = x y OB=yOB = y, y su área es x y2\frac{x\,y}{2}.

El área depende de dos variables; la condición OA+AB=30OA + AB = 30 las liga. Se despeja yy en función de xx, se sustituye y queda una función de una sola variable, que se deriva para buscar el máximo.
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Desarrollo

a) Longitudes de los lados.AB=(x−0)2+(y−y)2=x,OA=x2+y2AB = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - y)^2} = x, \qquad OA = \sqrt{x^2 + y^2}La condición del enunciado.x2+y2+x=30  ⟹  x2+y2=30−x\sqrt{x^2 + y^2} + x = 30 \;\Longrightarrow\; \sqrt{x^2 + y^2} = 30 - xElevando al cuadrado (con 30−x>030 - x > 0):x2+y2=900−60x+x2  ⟹  y2=900−60x  ⟹  y=900−60xx^2 + y^2 = 900 - 60x + x^2 \;\Longrightarrow\; y^2 = 900 - 60x \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{900 - 60x}(tomamos la raíz positiva porque y>0y > 0). Para que y>0y > 0 hace falta 900−60x>0900 - 60x > 0, es decir, x<15x < 15.

Área. El triángulo es rectángulo en BB, con catetos AB=xAB = x y OB=yOB = y:A(x)=x y2=x900−60x2,0<x<15A(x) = \frac{x\,y}{2} = \frac{x\sqrt{900 - 60x}}{2}, \qquad 0 < x < 15b) Derivada. Por la regla del producto y la de la cadena:A′(x)=12(900−60x+x⋅−602900−60x)=12⋅(900−60x)−30x900−60x=900−90x2900−60xA'(x) = \frac12\left(\sqrt{900 - 60x} + x\cdot\frac{-60}{2\sqrt{900 - 60x}}\right) = \frac12\cdot\frac{(900 - 60x) - 30x}{\sqrt{900 - 60x}} = \frac{900 - 90x}{2\sqrt{900 - 60x}}Punto crítico.A′(x)=0  ⟹  900−90x=0  ⟹  x=10A'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; 900 - 90x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 10que está dentro de (0,15)(0, 15).

Es un máximo. El denominador es positivo, así que el signo de A′A' es el de 900−90x900 - 90x: positivo si 0<x<100 < x < 10 (el área crece) y negativo si 10<x<1510 < x < 15 (el área decrece). En x=10x = 10 el área alcanza su máximo (absoluto en el intervalo).

c) Área máxima. Con x=10x = 10, y=900−600=300=103y = \sqrt{900 - 600} = \sqrt{300} = 10\sqrt 3:A(10)=10⋅1032=503≈86,60 m2A(10) = \frac{10\cdot 10\sqrt 3}{2} = 50\sqrt 3 \approx 86{,}60\ \text{m}^2Comprobación. OA=102+300=400=20OA = \sqrt{10^2 + 300} = \sqrt{400} = 20 m y AB=10AB = 10 m: suman 30 m ✓.
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Consejo

La clave es el dibujo: ver que el triángulo es rectángulo en BB te da el área xy2\frac{xy}{2} sin buscar alturas. Después, la condición OA+AB=30OA + AB = 30 sirve para dejarlo todo en función de xx; aísla la raíz antes de elevar al cuadrado.

El apartado b) es el que más vale: no basta con A′(x)=0A'(x) = 0, hay que justificar que es un máximo (signo de A′A' a cada lado, o la derivada segunda). Si te lía la raíz, puedes maximizar A(x)2=x2(900−60x)4A(x)^2 = \frac{x^2(900 - 60x)}{4}, que tiene el máximo en el mismo punto.
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