Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción B

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunitat Valenciana · 2017 · Julio · Opción B
Enunciado
Se dan la rectar:x−14=ya=z−1−1r: \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{a} = \frac{z - 1}{-1}y el plano π:2x−y+bz=0\pi: 2x - y + bz = 0, siendo aa y bb dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El punto de intersección de la recta rr y el plano π\pi cuando a=−b=1a = -b = 1. (2,5 puntos)

b) La distancia entre la recta rr y el plano π\pi cuando a=b=4a = b = 4. (2,5 puntos)

c) La posición relativa de la recta rr y del plano π\pi en función de los valores de los parámetros aa y bb. (5 puntos)
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Resultado
a) El punto de corte es (12, −18, 98)\left(\dfrac12,\ -\dfrac18,\ \dfrac98\right).

b) Son paralelos y d(r,π)=621=2217≈1,31d(r, \pi) = \dfrac{6}{\sqrt{21}} = \dfrac{2\sqrt{21}}{7} \approx 1{,}31 u.

c) Si a+b≠8a + b \neq 8, se cortan en un punto. Si a+b=8a + b = 8 y b≠−2b \neq -2, son paralelos. Si a+b=8a + b = 8 y b=−2b = -2 (es decir, a=10a = 10, b=−2b = -2), la recta está contenida en el plano.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

De la ecuación continua se leen directamente un punto de la recta, P=(1,0,1)P = (1, 0, 1), y su vector director, v⃗=(4,a,−1)\vec v = (4, a, -1). El normal del plano es n⃗=(2,−1,b)\vec n = (2, -1, b).
  • Para cortar recta y plano, se pasa la recta a paramétricas y se sustituye en el plano.
  • La distancia entre una recta y un plano solo tiene sentido calcularla si son paralelos (si se cortan, es 0): entonces es la distancia de cualquier punto de la recta al plano.
  • La posición relativa la decide v⃗⋅n⃗\vec v\cdot\vec n: si no es 0 se cortan; si es 0, la recta es paralela o está contenida, según que PP esté o no en el plano.
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Desarrollo

Datos de la recta y del plano. P=(1,0,1)∈rP = (1, 0, 1) \in r, v⃗=(4,a,−1)\vec v = (4, a, -1) y n⃗=(2,−1,b)\vec n = (2, -1, b).

a) Con a=1a = 1 y b=−1b = -1. La recta es (x,y,z)=(1+4t, t, 1−t)(x, y, z) = (1 + 4t,\ t,\ 1 - t) y el plano, π:2x−y−z=0\pi: 2x - y - z = 0.

Sustituimos.2(1+4t)−t−(1−t)=0  ⟹  2+8t−t−1+t=0  ⟹  1+8t=0  ⟹  t=−182(1 + 4t) - t - (1 - t) = 0 \;\Longrightarrow\; 2 + 8t - t - 1 + t = 0 \;\Longrightarrow\; 1 + 8t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac18Punto de corte.(1+4⋅(−18), −18, 1+18)=(12, −18, 98)\left(1 + 4\cdot\left(-\tfrac18\right),\ -\tfrac18,\ 1 + \tfrac18\right) = \left(\frac12,\ -\frac18,\ \frac98\right)Comprobación. 2⋅12−(−18)−98=1+18−98=02\cdot\frac12 - \left(-\frac18\right) - \frac98 = 1 + \frac18 - \frac98 = 0 ✓.

b) Con a=b=4a = b = 4. v⃗=(4,4,−1)\vec v = (4, 4, -1), n⃗=(2,−1,4)\vec n = (2, -1, 4) y π:2x−y+4z=0\pi: 2x - y + 4z = 0.

¿Son paralelos?v⃗⋅n⃗=4⋅2+4⋅(−1)+(−1)⋅4=8−4−4=0\vec v\cdot\vec n = 4\cdot 2 + 4\cdot(-1) + (-1)\cdot 4 = 8 - 4 - 4 = 0La recta es paralela al plano o está contenida en él. Como P=(1,0,1)P = (1, 0, 1) da 2−0+4=6≠02 - 0 + 4 = 6 \neq 0, P∉πP \notin \pi: son paralelos.

Distancia. Es la de PP al plano:d(r,π)=d(P,π)=∣2⋅1−0+4⋅1∣22+(−1)2+42=621=62121=2217≈1,31 ud(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{|2\cdot 1 - 0 + 4\cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \frac{6}{\sqrt{21}} = \frac{6\sqrt{21}}{21} = \frac{2\sqrt{21}}{7} \approx 1{,}31\ \text{u}c) Producto escalar en general.v⃗⋅n⃗=4⋅2+a⋅(−1)+(−1)⋅b=8−a−b\vec v\cdot\vec n = 4\cdot 2 + a\cdot(-1) + (-1)\cdot b = 8 - a - bCaso a+b≠8a + b \neq 8. v⃗⋅n⃗≠0\vec v\cdot\vec n \neq 0: la recta no es paralela al plano y se cortan en un punto.

Caso a+b=8a + b = 8. v⃗⋅n⃗=0\vec v\cdot\vec n = 0: la recta es paralela al plano o está contenida en él. Lo decide el punto P=(1,0,1)P = (1, 0, 1):2⋅1−0+b⋅1=2+b=0  ⟺  b=−22\cdot 1 - 0 + b\cdot 1 = 2 + b = 0 \iff b = -2
  • Si b=−2b = -2 (y entonces a=10a = 10), P∈πP \in \pi: la recta está contenida en el plano.
  • Si b≠−2b \neq -2 (con a+b=8a + b = 8), P∉πP \notin \pi: la recta y el plano son paralelos.
Cuadra con a) (a+b=0≠8a + b = 0 \neq 8: se cortan) y con b) (a+b=8a + b = 8 y b=4≠−2b = 4 \neq -2: paralelos).
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Consejo

En b) justifica primero que recta y plano son paralelos: si se cortaran, la distancia sería 0 y la fórmula de la distancia de un punto al plano no serviría. Es lo que mira el corrector antes de la cuenta.

En c) la condición v⃗⋅n⃗=0\vec v\cdot\vec n = 0 solo separa «se cortan» de «no se cortan en un punto»; para distinguir paralela de contenida hace falta comprobar un punto de la recta. Y cuida el signo: el normal de 2x−y+bz=02x - y + bz = 0 es (2,−1,b)(2, -1, b).
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