Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción B

a) Determinante. Desarrollando por la segunda fila (solo tiene un elemento no nulo):$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot\big(0\cdot 0 - (-1)\cdot 1\big) = 1 \neq 0$$Como $|A| \neq 0$, $A$ tiene inversa.

Adjuntos. $A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}$, con $M_{ij}$ el menor que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$:$$A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$$$$A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{22} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1,\quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$$$A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1,\quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{33} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$Inversa. Trasponemos la matriz de adjuntos y dividimos entre $|A| = 1$:$$\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{1}\,(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$Comprobación.$$A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I \ ✓$$(La inversa resulta ser la traspuesta, $A^{-1} = A^t$.)

b) Potencias de $A$.$$A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$$$A^3 = A^2\cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = A^{-1}$$$A^4$. Como $A^3 = A^{-1}$:$$A^4 = A^3\cdot A = A^{-1}A = I$$(o bien $A^4 = A^2\cdot A^2$, y al multiplicar la diagonal $(-1, 1, -1)$ por sí misma sale $(1, 1, 1)$).

c) Las potencias se repiten cada 4. Si $n = 4q + r$, con $r$ el resto de dividir entre 4, entonces $A^n = (A^4)^q\,A^r = I^q A^r = A^r$.$$7 = 4\cdot 1 + 3 \;\Longrightarrow\; A^7 = A^3 = A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$30 = 4\cdot 7 + 2 \;\Longrightarrow\; A^{30} = A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$$$100 = 4\cdot 25 \;\Longrightarrow\; A^{100} = (A^4)^{25} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$