Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción A

a) Corte con el eje OY. $f(0) = 0$: el punto $(0, 0)$.

Cortes con el eje OX. Resolvemos $f(x) = 0$ sacando factor común:$$x^3 - ax = x\,(x^2 - a) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \quad \text{o} \quad x = \pm\sqrt a$$(existen porque $a > 0$). Los puntos son $(0, 0)$, $(\sqrt a, 0)$ y $(-\sqrt a, 0)$.

Derivada y puntos críticos.$$f'(x) = 3x^2 - a = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = \frac{a}{3} \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{\frac a3}$$Signo de $f'$. Es una parábola con las ramas hacia arriba: positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas.$f$ es creciente en $\left(-\infty, -\sqrt{a/3}\right) \cup \left(\sqrt{a/3}, +\infty\right)$ y decreciente en $\left(-\sqrt{a/3}, \sqrt{a/3}\right)$.

b) La función con $a = 9$. $f(x) = x^3 - 9x$, un polinomio de grado 3, continuo y derivable en todo $\mathbb R$.

Cortes con los ejes (de a)): $(-3, 0)$, $(0, 0)$ y $(3, 0)$.

Extremos. $\sqrt{a/3} = \sqrt 3$. Por la tabla de a), en $x = -\sqrt 3$ pasa de crecer a decrecer (máximo relativo) y en $x = \sqrt 3$ de decrecer a crecer (mínimo relativo):$$f(-\sqrt 3) = -3\sqrt 3 + 9\sqrt 3 = 6\sqrt 3 \approx 10{,}39, \qquad f(\sqrt 3) = 3\sqrt 3 - 9\sqrt 3 = -6\sqrt 3 \approx -10{,}39$$Máximo relativo en $\left(-\sqrt 3, 6\sqrt 3\right)$ y mínimo relativo en $\left(\sqrt 3, -6\sqrt 3\right)$.

Curvatura. $f''(x) = 6x$: negativa para $x < 0$ (cóncava, forma $\cap$) y positiva para $x > 0$ (convexa, forma $\cup$). En $(0, 0)$ hay un punto de inflexión.

Simetría y ramas. $f(-x) = -f(x)$: la función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen. Además $\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.

La gráfica. Viene desde $-\infty$ por la izquierda, sube cortando el eje en $(-3, 0)$ hasta el máximo $(-1{,}73;\ 10{,}39)$, baja pasando por el origen (donde cambia la curvatura) hasta el mínimo $(1{,}73;\ -10{,}39)$ y vuelve a subir cortando el eje en $(3, 0)$ hacia $+\infty$. Algunos valores para dibujarla:

c) Cortes de las dos curvas. $x^3 = ax \iff x(x^2 - a) = 0 \iff x = 0$ o $x = \pm\sqrt a$. En el primer cuadrante ($x \geq 0$) la región va de $x = 0$ a $x = \sqrt a$.

Qué curva va por encima. En $0 < x < \sqrt a$ es $x^2 < a$, luego $x^3 < ax$: la recta $y = ax$ va por encima de $y = x^3$ (y las dos son positivas, así que la región está en el primer cuadrante).

Área.$$S(a) = \int_0^{\sqrt a} \left(ax - x^3\right) dx = \left[\frac{a x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt a} = \frac{a\cdot a}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}\ \text{u}^2$$d) Área bajo $y = x^3$ entre $0$ y $2$. En $[0, 2]$ es $x^3 \geq 0$, así que el área es la integral:$$\int_0^2 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{16}{4} = 4\ \text{u}^2$$Igualamos con c).$$\frac{a^2}{4} = 4 \;\Longrightarrow\; a^2 = 16 \;\Longrightarrow\; a = \pm 4$$Como $a > 1$, nos quedamos con $a = 4$.