Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción A

Vector director de $r$. Es perpendicular a los normales $(1, -2, -2)$ y $(1, 3, -1)$ de los dos planos que la definen:$$\vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \big((-2)(-1) - (-2)\cdot 3,\; (-2)\cdot 1 - 1\cdot(-1),\; 1\cdot 3 - (-2)\cdot 1\big) = (8, -1, 5)$$Un punto de $r$. Tomando $z = 0$: $x - 2y = 1$ y $x + 3y = 1$; restando, $5y = 0$, así que $y = 0$ y $x = 1$. El punto es $P = (1, 0, 0)$.

Producto escalar con el normal de $\pi$. El normal es $\vec n = (2, 1, m)$:$$\vec v\cdot\vec n = 8\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + 5m = 15 + 5m$$Se anula solo si $m = -3$.

¿Está $P$ en $\pi$? Sustituyendo $P = (1, 0, 0)$: $2\cdot 1 + 0 + m\cdot 0 = 2$, así que $P \in \pi$ si y solo si $n = 2$.

a) Se cortan en un punto cuando la recta no es paralela al plano: $\vec v\cdot\vec n \neq 0$, es decir,$$m \neq -3 \quad \text{y cualquier valor de } n.$$b) No se cortan cuando la recta es paralela al plano ($m = -3$) pero su punto $P$ no está en él ($n \neq 2$):$$m = -3 \quad \text{y} \quad n \neq 2.$$c) La recta está contenida en el plano cuando es paralela a él ($m = -3$) y además tiene un punto en él ($n = 2$):$$m = -3 \quad \text{y} \quad n = 2.$$Comprobación con Rouché-Frobenius. Las tres ecuaciones forman un sistema con matriz de coeficientes $M$:$$|M| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & m \end{vmatrix} = 1\cdot(3m + 1) + 2\cdot(m + 2) - 2\cdot(1 - 6) = 5m + 15$$Si $m \neq -3$, $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 3$: solución única (un punto de corte). Si $m = -3$, la tercera fila de coeficientes $(2, 1, -3)$ es la suma de las dos primeras; la ampliada solo tiene rango 2 si también el término independiente lo es, $n = 1 + 1 = 2$. Con $n = 2$ el sistema es compatible indeterminado (recta contenida) y con $n \neq 2$, incompatible (no se cortan). Sale lo mismo.