Problema resuelto de Matemáticas II: DeterminantesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2017 · Julio · Opción A

a) $A$ es invertible. Pasamos $A$ al primer miembro de la igualdad del enunciado y sacamos factor común (por la izquierda):$$A^2 + A = -I \;\Longrightarrow\; A(A + I) = -I \;\Longrightarrow\; A(-A - I) = I$$Hemos encontrado una matriz, $-A - I$, que multiplicada por $A$ da la identidad. Como $A$ conmuta con $-A - I$ (es un polinomio en $A$), también $(-A - I)A = I$. Por tanto $A$ es invertible y$$A^{-1} = -A - I$$(Otra forma de verlo: tomando determinantes en $A(-A - I) = I$, $|A|\cdot|-A - I| = 1$, luego $|A| \neq 0$.)

Cálculo de $A^3$. Sustituimos $A^2 = -A - I$:$$A^3 = A \cdot A^2 = A(-A - I) = -A^2 - A = -(-A - I) - A = A + I - A = I$$Es decir, $A^3 = I$. Cuadra con lo anterior: $A^3 = A\cdot A^2 = A(-A - I) = A\,A^{-1} = I$.

b) Determinantes en $2B^3 = B$. Como $B$ es de orden 3, $|2M| = 2^3|M|$, y además $|B^3| = |B|^3$:$$|2B^3| = |B| \;\Longrightarrow\; 2^3\,|B|^3 = |B| \;\Longrightarrow\; 8|B|^3 - |B| = 0$$Resolvemos. Llamando $d = |B|$:$$d\,(8d^2 - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; d = 0 \quad \text{o} \quad d^2 = \frac{1}{8} \;\Longrightarrow\; d = \pm\frac{1}{\sqrt 8} = \pm\frac{1}{2\sqrt 2} = \pm\frac{\sqrt 2}{4}$$Los valores posibles son $|B| = 0$, $|B| = \dfrac{\sqrt 2}{4}$ y $|B| = -\dfrac{\sqrt 2}{4}$.

c) Si $B$ tiene inversa, su determinante no es nulo, así que $|B| = \pm\dfrac{\sqrt 2}{4}$. Por la propiedad del determinante de un producto:$$|B^2| = |B|\cdot|B| = |B|^2 = \left(\pm\frac{\sqrt 2}{4}\right)^2 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$No hace falta saber cuál de los dos signos es: al cuadrado dan lo mismo.