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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Un autobús transporta 60 viajeros de tres tipos. Hay viajeros que pagan el billete entero, que vale 1,2 euros. Otro grupo de viajeros abona el 80% y un tercer grupo abona el 50%. La recaudación del autobús fue de 46,56 euros.

Calcular el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de los viajeros con mayor descuento es el doble que el número del resto de viajeros.

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Resultado

Viajan

14

viajeros con billete entero,

6

que pagan el

80\,\%

40

que pagan el

50\,\%

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas (cuántos viajeros hay de cada tipo) y el enunciado da tres datos: el total de viajeros, la recaudación y una relación entre grupos. Cada dato es una ecuación. Lo único delicado es traducir los precios: el

80\,\%

1{,}2

€ son

0{,}96

€ y el

50\,\%

0{,}6

€; y «los de mayor descuento» son los que pagan solo el

50\,\%

Desarrollo

Incógnitas.

$x$ : viajeros que pagan el billete entero ( $1{,}2$ €).
$y$ : viajeros que pagan el $80\,\%$ : $0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96$ €.
$z$ : viajeros que pagan el $50\,\%$ : $0{,}5 \cdot 1{,}2 = 0{,}6$ € (el mayor descuento).

Planteamiento.

\begin{cases} x + y + z = 60 \\ 1{,}2\,x + 0{,}96\,y + 0{,}6\,z = 46{,}56 \\ z = 2\,(x + y) \end{cases}

Resolución. De la primera y la tercera:

x + y = 60 - z

z = 2\,(60 - z)

, así que

3z = 120

z = 40, \qquad x + y = 20

Sustituyendo en la segunda:

1{,}2\,x + 0{,}96\,y = 46{,}56 - 0{,}6 \cdot 40 = 22{,}56

. Con

x = 20 - y

1{,}2\,(20 - y) + 0{,}96\,y = 22{,}56 \;\Longrightarrow\; 24 - 0{,}24\,y = 22{,}56 \;\Longrightarrow\; y = \frac{1{,}44}{0{,}24} = 6

x = 20 - 6 = 14

Comprobación.

14 + 6 + 40 = 60

✓;

14 \cdot 1{,}2 + 6 \cdot 0{,}96 + 40 \cdot 0{,}6 = 16{,}8 + 5{,}76 + 24 = 46{,}56

✓;

40 = 2 \cdot (14 + 6)

✓.

Consejo

La mitad de la nota (1 punto) es el planteamiento: define con palabras qué es cada incógnita antes de escribir las ecuaciones. Cuidado con «el doble que el resto»: es $z = 2(x + y)$ , no $z = 2x$ . Y como son personas, la solución debe salir entera; comprobar las tres ecuaciones al final cuesta un minuto.