Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Resolver la siguiente integral:

\displaystyle\int \frac{x^2 + 5}{x^3 - 2x^2 + x}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\int \frac{x^2 + 5}{x^3 - 2x^2 + x}\,dx = 5\ln|x| - 4\ln|x - 1| - \frac{6}{x - 1} + K, \qquad K \in \mathbb{R}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional con el grado del numerador (

2

) menor que el del denominador (

3

), así que no hace falta dividir: se factoriza el denominador y se descompone en fracciones simples. Al factorizar aparece una raíz doble, que pide dos fracciones (una con

(x-1)

y otra con

(x-1)^2

). Cada fracción simple tiene una primitiva inmediata.

Desarrollo

Factorización del denominador.

x^3 - 2x^2 + x = x\,(x^2 - 2x + 1) = x\,(x - 1)^2

Raíz simple

x = 0

y raíz doble

x = 1

.

Descomposición.

\frac{x^2 + 5}{x\,(x - 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^2}

Quitando denominadores:

x^2 + 5 = A\,(x - 1)^2 + B\,x\,(x - 1) + C\,x

Coeficientes.

$x = 0$ : $5 = A$ .
$x = 1$ : $6 = C$ .
Coeficiente de $x^2$ : $1 = A + B \Rightarrow B = 1 - 5 = -4$ .

Comprobación. Con

x = 2

A + 2B + 2C = 5 - 8 + 12 = 9

2^2 + 5 = 9

✓.

Integración.

\int \frac{x^2 + 5}{x^3 - 2x^2 + x}\,dx = \int \frac{5}{x}\,dx - \int \frac{4}{x - 1}\,dx + \int \frac{6}{(x - 1)^2}\,dx

= 5\ln|x| - 4\ln|x - 1| + 6\,\frac{(x - 1)^{-1}}{-1} + K = 5\ln|x| - 4\ln|x - 1| - \frac{6}{x - 1} + K

Consejo

El criterio da 1 punto a la descomposición en fracciones simples y otro a las tres integrales. El fallo más común es olvidar la fracción $\frac{C}{(x-1)^2}$ de la raíz doble: entonces el sistema no tiene solución. Recuerda también que $\int \frac{dx}{(x-1)^2}$ no es un logaritmo, sino $-\frac{1}{x-1}$ , y no te olvides del valor absoluto en los logaritmos ni de la constante.