Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Dada la función

f(x) = \dfrac{x}{1 - x^2}

a) ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Para qué intervalos es creciente?

b) Razonar si tiene máximos y mínimos. En caso afirmativo hallarlos.

c) Calcula la recta tangente a dicha curva en el punto cuya abscisa es

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\text{Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{-1, 1\}

;

f'(x) = \frac{1 + x^2}{(1 - x^2)^2} > 0

, así que

f

es creciente en

(-\infty, -1)

, en

(-1, 1)

y en

(1, +\infty)

.

b) No tiene máximos ni mínimos:

f'

no se anula nunca.

c) Tangente en

(0, 0)

y = x

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional: el dominio es todo

\mathbb{R}

menos donde se anula el denominador. La monotonía la da el signo de

f'

; aquí la derivada va a salir siempre positiva, lo que contesta a la vez a a) y a b): si

f'

nunca se anula (y la función es derivable en todo su dominio), no hay máximos ni mínimos relativos. La tangente en

x = 0

y = f(0) + f'(0)\,x

Desarrollo

a) Dominio.

1 - x^2 = 0 \iff x = \pm 1

, así que

\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)

Derivada. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{1\cdot(1 - x^2) - x\cdot(-2x)}{(1 - x^2)^2} = \frac{1 - x^2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{1 + x^2}{(1 - x^2)^2}

Signo. El numerador

1 + x^2 \ge 1 > 0

y el denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio. Por tanto

f'(x) > 0

para todo

x

del dominio:

f

es creciente en cada uno de los intervalos

(-\infty, -1)

(-1, 1)

(1, +\infty)

.

(Ojo: es creciente en cada intervalo por separado, pero no en la unión. Por ejemplo,

f(0{,}9) \approx 4{,}74

f(2) = -\frac{2}{3}

: al saltar la asíntota

x = 1

el valor baja.)

b) Extremos. Un extremo relativo de una función derivable exige

f'(x) = 0

, y aquí

f'(x) = \frac{1 + x^2}{(1 - x^2)^2}

no se anula nunca (su numerador es siempre positivo). Además

f

es creciente en cada intervalo de su dominio. Por tanto no tiene máximos ni mínimos relativos.

c) Punto y pendiente.

f(0) = \frac{0}{1} = 0

f'(0) = \frac{1}{1} = 1

.

Recta tangente.

y - f(0) = f'(0)\,(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = x

Consejo

El criterio puntúa por separado el dominio, la derivada, los intervalos, el razonamiento sobre los extremos y la tangente. En b) se pide razonar: escribe que $f'(x) = 0$ no tiene solución porque $1 + x^2 > 0$ . Y al dar los intervalos de crecimiento, sepáralos con «y» o comas en vez de escribir «creciente en todo su dominio» como si fuera un único intervalo.