Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Calcula la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la recta

r \equiv \dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 3}{-2} = \dfrac{z - 1}{3}

y que pasa por el punto

A(14, 3, 3)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

La perpendicular corta a

r

P(4, -1, 7)

y la recta pedida es

s \equiv \frac{x - 14}{5} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 3}{-2} \qquad \big(\text{o } (x, y, z) = (14, 3, 3) + \lambda\,(5, 2, -2)\big)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta buscada

s

sale de

A

y llega a

r

formando un ángulo recto. El punto donde la toca,

P

, es el pie de la perpendicular desde

A

r

. Para encontrarlo hay dos caminos equivalentes:

tomar un punto genérico $P$ de $r$ e imponer que $\overrightarrow{PA}$ sea perpendicular al director de $r$ (producto escalar nulo);
o cortar $r$ con el plano que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$ .

Con

A

P

ya tenemos la recta.

Desarrollo

Recta $r$ en paramétricas. Un punto es

(0, 3, 1)

y el director

\vec v = (2, -2, 3)

r: \begin{cases} x = 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \end{cases}

Plano perpendicular a $r$ por $A$ . Su normal es

\vec v

\pi: 2x - 2y + 3z + D = 0, \qquad A \in \pi:\ 28 - 6 + 9 + D = 0 \Rightarrow D = -31

\pi: 2x - 2y + 3z - 31 = 0

Punto de corte $P = r \cap \pi$ .

2\,(2t) - 2\,(3 - 2t) + 3\,(1 + 3t) - 31 = 0 \;\Longrightarrow\; 17t - 34 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2

P = (4,\ -1,\ 7)

Comprobación.

\overrightarrow{PA} = (14 - 4,\ 3 + 1,\ 3 - 7) = (10, 4, -4)

\overrightarrow{PA}\cdot\vec v = 20 - 8 - 12 = 0

✓: la recta

AP

es perpendicular a

r

y la corta en

P

.

Recta pedida. Pasa por

A(14, 3, 3)

con director

\overrightarrow{PA} = (10, 4, -4)

, o el proporcional

(5, 2, -2)

s \equiv \frac{x - 14}{5} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 3}{-2}

Consejo

No basta con que el director de $s$ sea perpendicular al de $r$ : hay infinitas rectas por $A$ así, y casi ninguna corta a $r$ . Por eso hay que pasar por el punto $P$ de $r$ . El criterio reparte 1 punto al planteamiento (plano perpendicular por $A$ ), 0,5 al punto $P$ y 0,5 a la recta final; comprobar $\overrightarrow{PA}\cdot\vec v = 0$ te asegura los dos últimos.