Matemáticas IIMedio2 pts

MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción B

País Vasco · 2017 · Junio · Opción B
Enunciado
Dada la matriz A=(m−200−2001m)A = \begin{pmatrix} m & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}

a) ¿Para qué valores de mm la matriz AA posee inversa? Estudiar el rango de la matriz en función del parámetro mm.

b) Hallar el valor mm para que se cumpla la igualdad A2=4(100010001)A^2 = 4\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) ∣A∣=−2m2|A| = -2m^2: AA tiene inversa si y solo si m≠0m \neq 0. Para m≠0m \neq 0, rg(A)=3\text{rg}(A) = 3; para m=0m = 0, rg(A)=1\text{rg}(A) = 1.

b) m=2m = 2 (el valor m=−2m = -2 cumple m2=4m^2 = 4 pero no las demás ecuaciones).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

a) Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Calculamos ∣A∣|A| en función de mm: donde no se anula, el rango es 33; en los valores que lo anulan, buscamos el mayor menor no nulo.

b) Calculamos A2A^2 dejando mm como letra e igualamos término a término con 4I4I. Salen varias ecuaciones que mm tiene que cumplir a la vez.
2

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera columna (solo tiene un elemento no nulo):∣A∣=m∣−201m∣=m (−2m−0)=−2m2|A| = m \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & m \end{vmatrix} = m\,(-2m - 0) = -2m^2Inversa. ∣A∣=−2m2=0  ⟺  m=0|A| = -2m^2 = 0 \iff m = 0. Por tanto AA tiene inversa para todo m≠0m \neq 0.

Rango si m≠0m \neq 0. ∣A∣≠0|A| \neq 0, así que rg(A)=3\text{rg}(A) = 3.

Rango si m=0m = 0.A=(0−200−20010)A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}La primera y la tercera columna son nulas y solo queda una columna no nula, (−2,−2,1)(-2, -2, 1): todos los menores de orden 22 son cero (cada uno usa al menos una columna nula) y hay elementos no nulos. Luego rg(A)=1\text{rg}(A) = 1.

b) Cuadrado de AA.A2=(m−200−2001m)(m−200−2001m)=(m2−2m+400400m−2m2)A^2 = \begin{pmatrix} m & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m^2 & -2m + 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & m - 2 & m^2 \end{pmatrix}Igualamos con 4I4I.(m2−2m+400400m−2m2)=(400040004)\begin{pmatrix} m^2 & -2m + 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & m - 2 & m^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}Las ecuaciones son:
  • m2=4⇒m=2m^2 = 4 \Rightarrow m = 2 o m=−2m = -2;
  • −2m+4=0⇒m=2-2m + 4 = 0 \Rightarrow m = 2;
  • m−2=0⇒m=2m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2.
Solo m=2m = 2 las cumple todas: con m=−2m = -2 los términos (1,2)(1,2) y (3,2)(3,2) valdrían 88 y −4-4, no 00.

Comprobación. Con m=2m = 2: A2=(400040004)=4IA^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 4I ✓.
3

Consejo

En b) no te quedes en m2=4m^2 = 4: la igualdad de matrices son nueve igualdades, y hay que mirar todas. El corrector espera que descartes m=−2m = -2 diciendo qué término falla. En a), al estudiar el rango para m=0m = 0, justifica por qué no es 22 (todos los menores de orden 22 son nulos), no basta con decir que «no es 33».
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Matrices
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera las matrices A=(2234)yB=(3122).A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · JulioMatrices
Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Dadas las matrices A=(101−120011),B=(−123)yC=(142),A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \end{pmatrix},…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 1Matrices
a) (1,5 puntos) Estudia el rango de la siguiente matriz, en función del parámetro real aa. A=(aa−1a2−aa1aa1a−1)A = \begin{pmatrix} a & a - 1 & a^2 - a \\ a & 1 & a \\ a & 1 & a - 1 \end{pmatrix}…
Matemáticas II · Castilla-La Mancha · 2026 · JulioMatrices
a) (1 punto) Determina los valores de aa y bb para que las matrices AA y BB cumplan que A⋅B=IA\cdot B = I…
Matemáticas II · Castilla-La Mancha · 2026 · Junio
Apuntes y todos los problemas de Álgebra →