Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Calcular la potencia

A^{2017}

de la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A^4 = I

, y como

2017 = 4 \cdot 504 + 1

A^{2017} = A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No se trata de multiplicar

2017

veces: calculamos las primeras potencias

A^2

A^3

A^4

… hasta que se repita algo. En cuanto una potencia sale la identidad, las siguientes vuelven a empezar el ciclo, y basta con dividir el exponente entre la longitud del ciclo y mirar el resto.

Desarrollo

Primeras potencias.

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

A^3 = A^2 \cdot A = -I \cdot A = -A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

A^4 = A^3 \cdot A = -A^2 = -(-I) = I

La pauta. Como

A^4 = I

, las potencias se repiten de cuatro en cuatro:

A^{4k} = (A^4)^k = I

, y en general

A^n

solo depende del resto de dividir

n

entre

4

A^{4k} = I, \quad A^{4k+1} = A, \quad A^{4k+2} = -I, \quad A^{4k+3} = -A

Exponente 2017.

2017 = 4 \cdot 504 + 1

, así que

A^{2017} = \left(A^4\right)^{504} \cdot A = I^{504} \cdot A = A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

(Geométricamente,

A

es un giro de

90°

en sentido horario: cuatro giros dan la vuelta completa.)

Consejo

El criterio da 1,25 puntos a obtener las potencias explicando la pauta que se repite y 0,75 al resultado. No te limites a escribir «se repite»: di que $A^4 = I$ y escribe $2017 = 4 \cdot 504 + 1$ para justificar por qué la respuesta es $A$ . Un descuido típico es confundir el resto y dar $-A$ o $-I$ .