Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

La curva

y = \dfrac{1}{2}x^2

divide al rectángulo

A(0, 0)

B(0, 2)

C(4, 2)

D(4, 0)

en dos recintos.

a) Dibuja la gráfica de la función y el rectángulo

ABCD

.

b) Calcula el área de cada uno de los recintos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) La parábola parte de la esquina

A(0, 0)

y sale del rectángulo por el lado superior en

(2, 2)

.

b) Recinto por encima de la curva:

S_1 = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67\ \text{u}^2

. Recinto por debajo:

S_2 = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33\ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero el dibujo: la parábola

y = \frac{1}{2}x^2

tiene el vértice en el origen (que es justo el vértice

A

del rectángulo) y sube hasta tocar el lado superior

y = 2

. Ese punto de corte decide cómo queda partido el rectángulo.

Luego basta una integral: el área bajo la parábola entre

0

y ese corte. Con ella y el área del rectángulo (

4 \cdot 2 = 8

) salen los dos recintos.

Desarrollo

a) Puntos de la parábola.

y = \frac{1}{2}x^2

es una parábola con vértice en

(0, 0)

, abierta hacia arriba y simétrica respecto del eje

OY

. Algunos valores:

(1,\ 0{,}5)

(2,\ 2)

(-1,\ 0{,}5)

(-2,\ 2)

.

Corte con el lado superior.

\frac{1}{2}x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

; dentro del rectángulo (

0 \le x \le 4

) solo vale

x = 2

, el punto

(2, 2)

.

Dibujo. Se dibujan los ejes, el rectángulo de vértices

A(0,0)

B(0,2)

C(4,2)

D(4,0)

(base de

4

sobre el eje

OX

y altura

2

) y la parábola: entra en el rectángulo por la esquina

A

, sube por dentro y sale por el lado superior

BC

en el punto

(2, 2)

; a partir de ahí queda fuera, por encima. El rectángulo queda partido en:

un recinto superior izquierdo, entre el lado $AB$ , el tramo de $BC$ de $x = 0$ a $x = 2$ y la parábola (por encima de la curva);
un recinto inferior derecho, el resto: bajo la parábola entre $x = 0$ y $x = 2$ , más el rectángulo entero de $x = 2$ a $x = 4$ .

b) Área bajo la parábola entre $0$ y $2$ . Por la regla de Barrow:

\int_0^2 \frac{1}{2}x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Recinto superior izquierdo. Es el cuadrado

[0, 2] \times [0, 2]

(área

4

) menos lo que queda bajo la curva:

S_1 = \int_0^2 \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right)dx = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\ \text{u}^2

Recinto inferior derecho. Lo que queda bajo la curva más el rectángulo

[2, 4] \times [0, 2]

S_2 = \frac{4}{3} + 2 \cdot 2 = \frac{16}{3}\ \text{u}^2

Comprobación.

S_1 + S_2 = \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = 8

, el área del rectángulo ✓.

Consejo

El dibujo vale aquí la mitad del ejercicio (1 punto en el criterio), así que hazlo con cuidado: marca los cuatro vértices del rectángulo y el punto $(2, 2)$ donde la parábola cruza el lado superior. Una vez calculado un recinto, el otro sale restando del área total del rectángulo; y sumarlos para ver que da $8$ es una comprobación que no cuesta nada.