Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Dada la función

f(x) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + 7

a) Calcula

A

B

C

sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa

x = 0

es horizontal, que además la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa

x = 2

y que corta al eje

OX

x = 1

.

b) Para los valores obtenidos calcula los máximos y los mínimos de la función.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = 0

B = -8

C = 0

f(x) = x^4 - 8x^2 + 7

.

b) Máximo relativo en

(0, 7)

y mínimos relativos en

(2, -9)

(-2, -9)

(que además son los mínimos absolutos).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada frase del enunciado es una ecuación:

tangente horizontal en $x = 0$ → $f'(0) = 0$ ;
extremo relativo en $x = 2$ → $f'(2) = 0$ (la función es polinómica, derivable en todo $\mathbb{R}$ );
corta al eje $OX$ en $x = 1$ → $f(1) = 0$ .

Tres condiciones para tres incógnitas. Después, con la función ya conocida, buscamos los puntos críticos (

f' = 0

) y los clasificamos con la segunda derivada.

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = 4x^3 + 3Ax^2 + 2Bx + C

Tangente horizontal en $x = 0$ .

f'(0) = C = 0

Extremo en $x = 2$ .

f'(2) = 32 + 12A + 4B + C = 0 \;\Longrightarrow\; 12A + 4B = -32 \;\Longrightarrow\; 3A + B = -8

Corte con $OX$ en $x = 1$ .

f(1) = 1 + A + B + C + 7 = 0 \;\Longrightarrow\; A + B = -8

Sistema. Restando las dos ecuaciones:

2A = 0

, así que

A = 0

B = -8

. La función es

f(x) = x^4 - 8x^2 + 7

Comprobación.

f(1) = 1 - 8 + 7 = 0

✓,

f'(2) = 32 - 32 = 0

✓,

f'(0) = 0

✓.

b) Puntos críticos.

f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x\,(x^2 - 4) = 4x\,(x - 2)(x + 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\ x = 2,\ x = -2

Clasificación con la segunda derivada.

f''(x) = 12x^2 - 16

$f''(0) = -16 < 0$ → máximo relativo en $x = 0$ , con $f(0) = 7$ .
$f''(2) = 48 - 16 = 32 > 0$ → mínimo relativo en $x = 2$ , con $f(2) = 16 - 32 + 7 = -9$ .
$f''(-2) = 32 > 0$ → mínimo relativo en $x = -2$ , con $f(-2) = -9$ .

Era de esperar la simetría:

f

solo tiene potencias pares, así que es par y su gráfica es simétrica respecto del eje

OY

Consejo

El criterio da 1,25 puntos a plantear bien las tres condiciones y resolverlas, y 0,75 a hallar los puntos críticos y decir de qué tipo es cada uno. No basta con resolver $f'(x) = 0$ : hay que clasificar cada punto (con $f''$ o con el signo de $f'$ ) y dar las dos coordenadas. Ojo con el signo de $f(\pm 2) = -9$ : es un error fácil escribir $9$ .