Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Dado el punto

M(1, -3, 7)

, obtener su simétrico respecto a la recta que pasa por los puntos

A(1, -3, 4)

B(0, -4, 1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

La proyección de

M

sobre la recta es

M'\left(\frac{20}{11}, -\frac{24}{11}, \frac{71}{11}\right)

y el simétrico de

M

respecto de la recta es

M''\left(\frac{29}{11},\ -\frac{15}{11},\ \frac{65}{11}\right)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El simétrico

M''

M

respecto de una recta

r

cumple que el punto

M'

de la recta más cercano a

M

(su proyección ortogonal) es el punto medio del segmento

MM''

.

Para hallar

M'

Escribimos la recta $r$ con un punto y su vector director.
Trazamos el plano $\pi$ que pasa por $M$ y es perpendicular a $r$ (su vector normal es el director de $r$ ).
$M' = r \cap \pi$ .

Y por último

M'' = 2M' - M

Desarrollo

Recta $r$ . Su vector director es

\overrightarrow{AB} = (0 - 1,\ -4 + 3,\ 1 - 4) = (-1, -1, -3)

; tomamos el proporcional

\vec v = (1, 1, 3)

. Con el punto

A

r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -3 + t \\ z = 4 + 3t \end{cases}

Plano perpendicular a $r$ por $M$ . Su normal es

\vec v = (1, 1, 3)

\pi: x + y + 3z + D = 0, \qquad M \in \pi:\ 1 - 3 + 21 + D = 0 \Rightarrow D = -19

\pi: x + y + 3z - 19 = 0

Proyección $M' = r \cap \pi$ . Sustituimos la recta en el plano:

(1 + t) + (-3 + t) + 3\,(4 + 3t) - 19 = 0 \;\Longrightarrow\; 11t - 9 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{9}{11}

M' = \left(1 + \frac{9}{11},\ -3 + \frac{9}{11},\ 4 + \frac{27}{11}\right) = \left(\frac{20}{11},\ -\frac{24}{11},\ \frac{71}{11}\right)

Comprobación.

\overrightarrow{MM'} = \left(\frac{9}{11},\ \frac{9}{11},\ -\frac{6}{11}\right)

\overrightarrow{MM'}\cdot\vec v = \frac{9 + 9 - 18}{11} = 0

✓: es perpendicular a la recta.

Simétrico.

M'

es el punto medio de

M

M''

, así que

M'' = 2M' - M

M'' = \left(\frac{40}{11} - 1,\ -\frac{48}{11} + 3,\ \frac{142}{11} - 7\right) = \left(\frac{29}{11},\ -\frac{15}{11},\ \frac{65}{11}\right)

Consejo

El criterio da 1 punto al plano perpendicular (o a otro método equivalente, como imponer $\overrightarrow{MP}\cdot\vec v = 0$ a un punto genérico $P$ de la recta) y 1 punto al simétrico. Un error típico es dar $M'$ como respuesta: la proyección es solo el punto medio, todavía hay que duplicar el salto. Comprueba siempre que $\overrightarrow{MM'}$ es perpendicular al director.