Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Junio · Opción A

Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1 \\ 3 & 1 & -m \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -m & 3 \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 2\,(-m^2 - 1) - 1\,(-m - 3) + (-1)\,(1 - 3m) = -2m^2 - 2 + m + 3 - 1 + 3m = -2m^2 + 4m$$$$|A| = 2m\,(2 - m) = 0 \iff m = 0 \ \text{ o } \ m = 2$$Caso $m \neq 0$ y $m \neq 2$. $|A| \neq 0$, así que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $m = 0$. La matriz queda$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Para la ampliada nos fijamos en que la tercera fila es la suma de las dos primeras: $(2+1,\ 1+0,\ -1+1 \mid 1+2) = (3,\ 1,\ 0 \mid 3)$. Por tanto todos los menores de orden $3$ de $A^*$ son nulos y $\text{rg}(A^*) = 2$.

Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de un parámetro).

Caso $m = 2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -2 & 3 \end{array}\right)$$Otra vez $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, así que $\text{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2\,(6 - 2) - 1\,(3 - 6) + 1\,(1 - 6) = 8 + 3 - 5 = 6 \neq 0$$Luego $\text{rg}(A^*) = 3 \neq \text{rg}(A) = 2$: sistema incompatible (no tiene solución).