Matemáticas IIDifícil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción B

Enunciado

Dado el número

N = 2^{2017} + 5^{2017} + 6^{2017}

sea

Z = N^{2017}

.

Contestar razonadamente a la siguiente pregunta: ¿es

Z

múltiplo de 10?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

2^{2017}

acaba en 2,

5^{2017}

en 5 y

6^{2017}

en 6, así que

N

acaba en 3; y

3^{2017}

acaba en 3 (ciclo 3, 9, 7, 1 y

2017 = 4\cdot 504 + 1

Z

acaba en 3: no es múltiplo de 10 (de hecho,

Z

es impar).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un número es múltiplo de 10 si y solo si acaba en 0. No hace falta (ni se puede) calcular

Z

: basta con averiguar su cifra de las unidades, y la cifra de las unidades de una suma o de un producto solo depende de las cifras de las unidades de los números que intervienen.

Así que vamos por pasos: las unidades de cada potencia de

N

, después las de

N

y, por último, las de

Z = N^{2017}

. Las cifras finales de las potencias se repiten en ciclos cortos.

Desarrollo

Unidades de $5^{2017}$ y $6^{2017}$ . Cualquier potencia de 5 acaba en 5 (

5 \cdot 5 = 25

25\cdot 5 = 125

…) y cualquier potencia de 6 acaba en 6 (

6\cdot 6 = 36

…).

Unidades de $2^{2017}$ . Las potencias de 2 acaban en

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$2^n$	2	4	8	16	32	64	128	256
unidades	2	4	8	6	2	4	8	6

El ciclo es

2, 4, 8, 6

, de longitud 4. Como

2017 = 4\cdot 504 + 1

, el resto es 1 y

2^{2017}

acaba en 2 (como

2^1

).

Unidades de $N$ .

2 + 5 + 6 = 13

, así que

N

acaba en 3.

Unidades de $Z = N^{2017}$ . Las potencias de un número acabado en 3 acaban como las de 3:

$n$	1	2	3	4	5
$3^n$	3	9	27	81	243
unidades	3	9	7	1	3

El ciclo es

3, 9, 7, 1

, también de longitud 4. Con el mismo resto,

2017 = 4\cdot 504 + 1

Z

acaba en 3.

Conclusión.

Z

acaba en 3, no en 0: no es múltiplo de 10.

Un razonamiento aún más corto. En realidad basta con la paridad:

2^{2017}

6^{2017}

son pares y

5^{2017}

es impar, así que

N

es impar. Una potencia de un impar es impar, luego

Z

es impar y no puede ser múltiplo de 10 (ni siquiera de 2). Los ciclos de cifras dan además cuál es su última cifra.

Consejo

El corrector pide razonar el método: 1,25 puntos por llegar a la cifra de las unidades de $N$ y el resto por la de $Z$ . No basta con escribir «acaba en 3»: muestra el ciclo de las potencias y divide el exponente entre 4 para ver en qué punto del ciclo cae. Si ves el atajo de la paridad, escríbelo también: es una justificación completa en dos líneas.