Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción B

Enunciado

Calcular el área del recinto limitado por las siguientes parábolas, realizando un dibujo del mismo.

y = -x^2 - 10x, \qquad y = (x + 4)^2.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Las parábolas se cortan en

A(-1, 9)

B(-8, 16)

; entre ellas,

y = -x^2 - 10x

va por encima de

y = (x + 4)^2

\text{Área} = \int_{-8}^{-1}\left(-2x^2 - 18x - 16\right)dx = \frac{343}{3} \approx 114{,}33\ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El recinto queda entre los dos puntos de corte de las parábolas. Hay que:

Hallar dónde se cortan (igualando las dos expresiones).
Dibujarlas para ver cuál va por encima entre esos puntos: una abre hacia abajo y la otra hacia arriba, así que la que abre hacia abajo es la de arriba.
Integrar «la de arriba menos la de abajo» entre los cortes con la regla de Barrow.

Desarrollo

Puntos de corte.

-x^2 - 10x = x^2 + 8x + 16 \;\Longrightarrow\; 2x^2 + 18x + 16 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 + 9x + 8 = 0

x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{-9 \pm 7}{2} \;\Longrightarrow\; x = -1, \quad x = -8

Con

y = (x + 4)^2

y(-1) = 9

y(-8) = 16

. Se cortan en

A(-1, 9)

B(-8, 16)

.

Dibujo.

$y = -x^2 - 10x = -x(x + 10)$ abre hacia abajo, corta al eje $X$ en $x = 0$ y $x = -10$ y tiene el vértice en $(-5, 25)$ .
$y = (x + 4)^2$ abre hacia arriba, con el vértice en $(-4, 0)$ , tangente al eje $X$ , y corta al eje $Y$ en $(0, 16)$ .

En el dibujo, la parábola de vértice

(-5, 25)

forma un arco alto entre

x = -10

x = 0

; la otra es una «U» con el fondo en

(-4, 0)

. Se cruzan en

B(-8, 16)

, a la izquierda, y en

A(-1, 9)

, a la derecha. El recinto es la región con forma de lente comprendida entre ambas para

-8 \le x \le -1

: arriba el arco de

y = -x^2 - 10x

y abajo la «U». Por ejemplo, en

x = -4

-16 + 40 = 24 > 0 = (x + 4)^2

.

Integral. La diferencia «arriba menos abajo» es

(-x^2 - 10x) - (x^2 + 8x + 16) = -2x^2 - 18x - 16

\text{Área} = \int_{-8}^{-1} \left(-2x^2 - 18x - 16\right) dx = \left[-\frac{2x^3}{3} - 9x^2 - 16x\right]_{-8}^{-1}

Regla de Barrow.

F(-1) = \frac{2}{3} - 9 + 16 = \frac{23}{3}, \qquad F(-8) = \frac{1024}{3} - 576 + 128 = \frac{1024 - 1344}{3} = -\frac{320}{3}

\text{Área} = \frac{23}{3} - \left(-\frac{320}{3}\right) = \frac{343}{3}\ \text{u}^2

Comprobación. Para dos parábolas cuya diferencia es

k\,(x - x_1)(x - x_2)

, el área entre los cortes vale

\dfrac{|k|\,(x_2 - x_1)^3}{6}

. Aquí

k = -2

x_2 - x_1 = 7

\dfrac{2\cdot 343}{6} = \dfrac{343}{3}

✓.

Consejo

Los criterios dan 1 punto al dibujo con los puntos de corte y 1 al área con Barrow, así que el dibujo puntúa: marca vértices, cortes con los ejes y los puntos $A$ y $B$ , y sombrea el recinto. Si al restar te sale un área negativa, has restado al revés: cambia el orden y no dejes un área con signo menos.