Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción B

Dominio. $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

a) Derivada.$$y' = 1 - \frac{8}{x^3} = \frac{x^3 - 8}{x^3}$$(Con la regla del cociente sale lo mismo: $y' = \dfrac{3x^2\cdot x^2 - (x^3 + 4)\cdot 2x}{x^4} = \dfrac{x^4 - 8x}{x^4} = \dfrac{x^3 - 8}{x^3}$.)

Puntos críticos. $y' = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^3 = 8 \;\Longleftrightarrow\; x = 2$.

Signo de $y'$. El numerador $x^3 - 8$ cambia de signo en $x = 2$ y el denominador $x^3$ en $x = 0$:En $x = 2$ la función pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo, en$$y(2) = \frac{8 + 4}{4} = 3 \quad\Rightarrow\quad (2,\ 3)$$No hay máximo relativo: el único punto crítico es $x = 2$. (En $x = 0$ cambia la monotonía, pero la función no está definida ahí.) Tampoco hay extremos absolutos: la función toma valores tan grandes como se quiera cerca de $0$ y tan negativos como se quiera hacia $-\infty$.

b) Crecimiento. Por la tabla, la función es creciente en $(-\infty, 0)$ y en $(2, +\infty)$, y decreciente en $(0, 2)$.

c) Asíntota vertical. En $x = 0$:$$\lim_{x \to 0^-} \frac{x^3 + 4}{x^2} = \frac{4}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3 + 4}{x^2} = +\infty$$Luego $x = 0$ es asíntota vertical (la función sube a $+\infty$ por los dos lados).

Asíntota horizontal. $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 4}{x^2} = \pm\infty$: no hay (el grado del numerador supera al del denominador).

Asíntota oblicua $y = mx + n$:$$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 4}{x^3} = 1, \qquad n = \lim_{x \to \pm\infty} (y - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x^2} = 0$$La recta $y = x$ es asíntota oblicua por los dos lados. Como $y - x = \frac{4}{x^2} > 0$, la curva va siempre por encima de ella.