Matemáticas IIMedio2 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción B

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
País Vasco · 2017 · Julio · Opción B
Enunciado
a) Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a los planos de ecuaciones:π1≡x−3y+z=0yπ2≡2x−y+3z−5=0,\pi_1 \equiv x - 3y + z = 0 \qquad \text{y} \qquad \pi_2 \equiv 2x - y + 3z - 5 = 0,y que pasa por el punto P(2,6,5)P(2, 6, 5).

b) Encontrar la distancia del primer plano a la recta obtenida.
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Resultado
a) r: x−2−8=y−6−1=z−55r:\ \dfrac{x - 2}{-8} = \dfrac{y - 6}{-1} = \dfrac{z - 5}{5}, con director n⃗1×n⃗2=(−8,−1,5)\vec n_1 \times \vec n_2 = (-8, -1, 5).

b) d(r,π1)=11≈3,32d(r, \pi_1) = \sqrt{11} \approx 3{,}32 unidades.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Una recta paralela a un plano tiene su vector director perpendicular al vector normal del plano. Si es paralela a los dos planos, su director es perpendicular a los dos normales a la vez, y el producto vectorial n⃗1×n⃗2\vec n_1 \times \vec n_2 da justamente ese vector. Con el director y el punto PP ya tenemos la recta.

En b), como la recta es paralela a π1\pi_1, todos sus puntos están a la misma distancia del plano: basta con la distancia de PP a π1\pi_1.
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Desarrollo

a) Vectores normales. n⃗1=(1,−3,1)\vec n_1 = (1, -3, 1) y n⃗2=(2,−1,3)\vec n_2 = (2, -1, 3).

Vector director.v⃗=n⃗1×n⃗2=∣i⃗j⃗k⃗1−312−13∣=((−3)⋅3−1⋅(−1), 1⋅2−1⋅3, 1⋅(−1)−(−3)⋅2)=(−8, −1, 5)\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \big((-3)\cdot 3 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot 2 - 1\cdot 3,\ 1\cdot(-1) - (-3)\cdot 2\big) = (-8,\ -1,\ 5)Comprobación. v⃗⋅n⃗1=−8+3+5=0\vec v\cdot\vec n_1 = -8 + 3 + 5 = 0 y v⃗⋅n⃗2=−16+1+15=0\vec v\cdot\vec n_2 = -16 + 1 + 15 = 0 ✓: es perpendicular a los dos normales.

Recta por P(2,6,5)P(2, 6, 5). En forma continua y en paramétricas:r: x−2−8=y−6−1=z−55⟺{x=2−8λy=6−λz=5+5λr:\ \frac{x - 2}{-8} = \frac{y - 6}{-1} = \frac{z - 5}{5} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} x = 2 - 8\lambda \\ y = 6 - \lambda \\ z = 5 + 5\lambda \end{cases}¿Paralela o contenida? PP no está en π1\pi_1 (2−18+5=−11≠02 - 18 + 5 = -11 \neq 0) ni en π2\pi_2 (4−6+15−5=8≠04 - 6 + 15 - 5 = 8 \neq 0), así que la recta es paralela a los dos planos sin estar contenida en ninguno.

b) Distancia de PP a π1\pi_1. Como r∥π1r \parallel \pi_1, d(r,π1)=d(P,π1)d(r, \pi_1) = d(P, \pi_1):d(P,π1)=∣2−3⋅6+5∣12+(−3)2+12=∣−11∣11=1111=11d(P, \pi_1) = \frac{|2 - 3\cdot 6 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|-11|}{\sqrt{11}} = \frac{11}{\sqrt{11}} = \sqrt{11}
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Consejo

El criterio da 1 punto a obtener el director con el producto vectorial de los normales y 1 punto a la distancia. Justifica en una frase por qué la distancia de la recta al plano es la de cualquiera de sus puntos: porque son paralelos. Y comprueba el director con dos productos escalares: si alguno no da cero, hay un signo mal en el producto vectorial.
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