Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción B

Enunciado

a) Calcula para qué valor, o valores, de

x

admite inversa la siguiente matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ x & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}

b) En caso de existir, calcula la inversa de

A

para

x = -3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A| = 5 - x^2

A

tiene inversa para todo

x

salvo

x = \pm\sqrt{5}

.

b) Para

x = -3

|A| = -4

A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -6 & 18 & -10 \\ -3 & 5 & -3 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Calculamos

|A|

en función de

x

y vemos qué valores lo anulan: para todos los demás hay inversa.

En b) comprobamos primero que

x = -3

no es uno de esos valores y calculamos la inversa con la fórmula de los adjuntos:

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

Desarrollo

a) Determinante por la regla de Sarrus. Los tres productos «de bajada» son

1\cdot 0\cdot 0 = 0

1\cdot(-1)\cdot(-6) = 6

x\cdot x\cdot(-1) = -x^2

; los tres «de subida» son

x\cdot 0\cdot(-6) = 0

1\cdot(-1)\cdot(-1) = 1

1\cdot x\cdot 0 = 0

|A| = (0 + 6 - x^2) - (0 + 1 + 0) = 5 - x^2

Valores que lo anulan.

5 - x^2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = \pm\sqrt{5}

.

Por tanto

A

admite inversa para todo

x \neq \sqrt{5}

x \neq -\sqrt{5}

.

b) Existe la inversa. Para

x = -3

|A| = 5 - 9 = -4 \neq 0

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -3 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}

Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = 6, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = 3

A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = -18, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = -5

A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = 10, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 3

Adjunta traspuesta.

(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 6 & -18 & 10 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix}

Inversa.

A^{-1} = \frac{1}{-4}\begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 6 & -18 & 10 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -6 & 18 & -10 \\ -3 & 5 & -3 \end{pmatrix}

Comprobación (primera fila de

A

por las columnas de

A^{-1}

\tfrac14(1 - 6 + 9) = 1

\tfrac14(-3 + 18 - 15) = 0

\tfrac14(1 - 10 + 9) = 0

✓. Las demás filas dan igualmente la identidad.

Consejo

Los criterios dan 0,75 puntos al determinante, 0,75 a decidir para qué valores hay inversa y 0,5 a la inversa. Ojo con lo que se pregunta: los valores que anulan el determinante son justo los que no tienen inversa. En la inversa, el fallo típico es olvidar trasponer o el signo $(-1)^{i+j}$ de los adjuntos: multiplica $A\cdot A^{-1}$ al final para comprobarlo.