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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción A

Enunciado

La suma de 45 números seguidos nos da 1890. ¿Cuál es el menor y el mayor de los números que componen esa suma?

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Resultado

Los números van del 20 (el menor) al 64 (el mayor):

20 + 21 + \dots + 64 = 1890

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Estrategia

«Números seguidos» son enteros consecutivos. Si llamamos

x

al menor, los 45 números son

x, x + 1, \dots, x + 44

: todo se expresa con una sola incógnita y su suma da una ecuación de primer grado.

Un atajo útil: la suma de una lista de números consecutivos es el número de términos por la media del primero y el último (son una progresión aritmética).

Desarrollo

Planteamiento. Con

x

el menor:

x + (x + 1) + (x + 2) + \dots + (x + 44) = 1890

Agrupamos. Hay 45 veces

x

y, aparte, los números de 1 a 44:

45x + (1 + 2 + \dots + 44) = 1890

Suma de 1 a 44. Por la fórmula de Gauss,

1 + 2 + \dots + 44 = \frac{44 \cdot 45}{2} = 990

Ecuación.

45x + 990 = 1890 \;\Longrightarrow\; 45x = 900 \;\Longrightarrow\; x = 20

El mayor es

x + 44 = 64

.

Comprobación (con la media). La media de los 45 números es

\dfrac{1890}{45} = 42

, que es el término central (el 23.º):

20 + 22 = 42

✓. Y

\dfrac{20 + 64}{2}\cdot 45 = 42 \cdot 45 = 1890

✓.

Consejo

Los criterios valoran el planteamiento (ecuación, tanteo u otro método) con la mitad de la nota y la resolución con la otra mitad. Llama $x$ al primero y cuenta bien los términos: si el primero es $x$ , el 45.º es $x + 44$ , no $x + 45$ . La comprobación con la media ( $1890 : 45 = 42$ , el del centro) es un control rápido.