Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción A

Enunciado

Resolver la siguiente integral

\int (x + 5)\,e^{3x}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\int (x + 5)\,e^{3x}\,dx = \frac{(x + 5)\,e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + C = \frac{(3x + 14)\,e^{3x}}{9} + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el producto de un polinomio por una exponencial: el caso de libro de la integración por partes. Se deriva el polinomio (que baja de grado hasta ser una constante) y se integra la exponencial, que no se complica.

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

Desarrollo

Elección de las partes.

u = x + 5 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^{3x}\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{1}{3}e^{3x}

Aplicamos la fórmula.

\int (x + 5)\,e^{3x}\,dx = \frac{(x + 5)\,e^{3x}}{3} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{(x + 5)\,e^{3x}}{3} - \frac{1}{9}e^{3x} + C

Simplificamos sacando factor común

\dfrac{e^{3x}}{9}

\int (x + 5)\,e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{9}\big(3(x + 5) - 1\big) + C = \frac{(3x + 14)\,e^{3x}}{9} + C

Comprobación derivando.

\frac{d}{dx}\left[\frac{(3x + 14)\,e^{3x}}{9}\right] = \frac{3e^{3x} + 3(3x + 14)e^{3x}}{9} = \frac{(9x + 45)\,e^{3x}}{9} = (x + 5)\,e^{3x} \;✓

Consejo

Escoge $u$ como la parte que se simplifica al derivar (el polinomio) y $dv$ la que se integra sin problemas (la exponencial). El fallo más frecuente es olvidar el $\frac13$ al integrar $e^{3x}$ , y después el $\frac19$ . No te olvides de la constante $C$ y, si te sobra tiempo, deriva el resultado.