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Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción A

País Vasco · 2017 · Julio · Opción A
Enunciado
Sabemos que la recta y=2x−10y = 2x - 10 es tangente a la gráfica de la función f(x)=x3+Ax2+Bx−1f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx - 1 en el punto P(1,−8)P(1, -8).

a) Calcula los valores de AA y BB.

b) Calcular los puntos de corte de la función f(x)f(x) con la recta de ecuación y=−15x−1y = -15x - 1.
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Resultado
a) A=7A = 7, B=−15B = -15: f(x)=x3+7x2−15x−1f(x) = x^3 + 7x^2 - 15x - 1.

b) Se cortan en (0,−1)(0, -1) (raíz doble: ahí la recta es tangente a la curva) y en (−7,104)(-7, 104).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

«Tangente en PP» da dos condiciones:
  1. PP está en la gráfica: f(1)=−8f(1) = -8.
  2. La pendiente de la tangente es la derivada en ese punto: f′(1)=2f'(1) = 2, la pendiente de y=2x−10y = 2x - 10.
Con ellas sale un sistema lineal en AA y BB. En b) basta igualar f(x)f(x) con la recta y resolver la ecuación polinómica que queda.
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Desarrollo

a) Derivada. f′(x)=3x2+2Ax+Bf'(x) = 3x^2 + 2Ax + B.

Condición de pendiente. f′(1)=3+2A+B=2  ⟹  2A+B=−1f'(1) = 3 + 2A + B = 2 \;\Longrightarrow\; 2A + B = -1.

Condición de paso por PP. f(1)=1+A+B−1=A+B=−8f(1) = 1 + A + B - 1 = A + B = -8.

Sistema. Restando la segunda ecuación a la primera: A=−1−(−8)=7A = -1 - (-8) = 7, y entonces B=−8−7=−15B = -8 - 7 = -15.f(x)=x3+7x2−15x−1f(x) = x^3 + 7x^2 - 15x - 1Comprobación. f(1)=1+7−15−1=−8f(1) = 1 + 7 - 15 - 1 = -8 ✓ y f′(1)=3+14−15=2f'(1) = 3 + 14 - 15 = 2 ✓. Además la recta pasa por PP: 2⋅1−10=−82\cdot 1 - 10 = -8 ✓.

b) Igualamos curva y recta.x3+7x2−15x−1=−15x−1  ⟹  x3+7x2=0  ⟹  x2(x+7)=0x^3 + 7x^2 - 15x - 1 = -15x - 1 \;\Longrightarrow\; x^3 + 7x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2(x + 7) = 0Soluciones: x=0x = 0 (raíz doble) y x=−7x = -7.

Ordenadas. Con la recta: y(0)=−1y(0) = -1 y y(−7)=−15⋅(−7)−1=104y(-7) = -15\cdot(-7) - 1 = 104. (Con la curva, f(−7)=−343+343+105−1=104f(-7) = -343 + 343 + 105 - 1 = 104 ✓.)

Observación. Que x=0x = 0 sea raíz doble significa que la recta y=−15x−1y = -15x - 1 es tangente a la curva en (0,−1)(0, -1): en efecto, f′(0)=−15f'(0) = -15, su pendiente.
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Consejo

Los criterios dan 0,5 puntos por derivar, 1 por plantear bien las dos condiciones y 0,5 por los cortes. El error típico es usar solo la pendiente y olvidar que el punto de tangencia está en la curva. En los cortes, da los puntos con sus dos coordenadas, no solo los valores de xx.
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