Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción A

Enunciado

Dada la recta que pasa por los puntos

A(0, 2, 3)

B(-1, 1, 1)

encontrar un punto

P

de dicha recta tal que la distancia de

P

al punto

M(1, 0, 1)

sea la misma que la distancia de

P

al punto

N(0, 4, 2)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P = \left(-\dfrac{2}{5},\ \dfrac{8}{5},\ \dfrac{11}{5}\right)

, el punto donde la recta

AB

corta al plano mediador

x - 4y - z + 9 = 0

MN

; está a

\dfrac{\sqrt{149}}{5} \approx 2{,}44

M

y de

N

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los puntos que están a la misma distancia de

M

y de

N

forman el plano mediador del segmento

MN

: pasa por su punto medio y tiene

\overrightarrow{MN}

como vector normal. El punto

P

buscado es, por tanto, la intersección de ese plano con la recta

AB

.

Otra forma equivalente: escribir el punto genérico de la recta en paramétricas, imponer

d(P, M) = d(P, N)

, elevar al cuadrado y resolver la ecuación en

t

(los términos en

t^2

se van y queda una ecuación de primer grado).

Desarrollo

Recta $AB$ . Vector director

\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 1) - (0, 2, 3) = (-1, -1, -2)

, o su opuesto

\vec v = (1, 1, 2)

. Por

A

r:\ (x, y, z) = (t,\ 2 + t,\ 3 + 2t), \quad t \in \mathbb{R}

Plano mediador de $MN$ . Vector normal

\overrightarrow{MN} = (0, 4, 2) - (1, 0, 1) = (-1, 4, 1)

y punto medio

M_{MN} = \left(\tfrac{1}{2},\ 2,\ \tfrac{3}{2}\right)

El plano es

-x + 4y + z + D = 0

; sustituyendo el punto medio,

-\tfrac12 + 8 + \tfrac32 + D = 0

, de donde

D = -9

\pi:\ x - 4y - z + 9 = 0

Intersección con la recta. Sustituimos el punto genérico de

r

t - 4(2 + t) - (3 + 2t) + 9 = 0 \;\Longrightarrow\; -5t - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{2}{5}

P = \left(-\frac{2}{5},\ 2 - \frac{2}{5},\ 3 - \frac{4}{5}\right) = \left(-\frac{2}{5},\ \frac{8}{5},\ \frac{11}{5}\right)

Comprobación con las distancias. Con el punto genérico,

d(P, M)^2 = (t-1)^2 + (t+2)^2 + (2t+2)^2 = 6t^2 + 10t + 9

d(P, N)^2 = t^2 + (t-2)^2 + (2t+1)^2 = 6t^2 + 5

Igualando:

10t + 9 = 5

t = -\tfrac{2}{5}

, el mismo valor. En ese punto las dos distancias valen

\sqrt{6\cdot\tfrac{4}{25} + 5} = \sqrt{\tfrac{149}{25}} = \tfrac{\sqrt{149}}{5}

Consejo

El corrector da la mitad de la nota por el planteamiento (la recta y el plano mediador, o la ecuación de equidistancia) y la otra mitad por obtener $P$ . Si planteas la igualdad de distancias, eleva al cuadrado antes de desarrollar: las raíces desaparecen y los $t^2$ se cancelan. Si te queda una ecuación de segundo grado, revisa los signos.