Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2017 · Julio · Opción A

Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 6 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & a & 6 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 2 & 6 & 0 \\ 2 & a & 4 & 2 \\ 2 & a & 6 & a-2 \end{array}\right)$$Determinante. Restamos la segunda fila a la tercera (el determinante no cambia):$$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 6 \\ 2 & a & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} a & 2 \\ 2 & a \end{vmatrix} = 2(a^2 - 4)$$Se anula para $a = 2$ y $a = -2$.

Caso $a \neq 2$ y $a \neq -2$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 6 & 0 \end{array}\right)$$La primera y la tercera fila son idénticas (también en el término independiente, porque $a - 2 = 0$). El menor $\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 8 - 12 = -4 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $a = -2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 6 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & -4 \end{array}\right)$$En $A$ las dos primeras columnas son opuestas y $\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 8 + 12 = 20 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, con las columnas de $y$, $z$ y el término independiente:$$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 6 & -4 \end{vmatrix} = 2(-16 - 12) - 6(8 + 4) + 0 = -56 - 72 = -128 \neq 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A)$: sistema incompatible.

Solución para $a = 0$. Como $0 \neq \pm 2$, el sistema es compatible determinado:$$\begin{aligned} 2y + 6z &= 0 \\ 2x + 4z &= 2 \\ 2x + 6z &= -2 \end{aligned}$$Restando la segunda ecuación a la tercera: $2z = -4$, así que $z = -2$. De la segunda, $2x = 2 - 4z = 10$, $x = 5$. De la primera, $y = -3z = 6$.

Comprobación. $2\cdot 6 + 6\cdot(-2) = 0$ ✓, $2\cdot 5 + 4\cdot(-2) = 2$ ✓, $2\cdot 5 + 6\cdot(-2) = -2$ ✓.