Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

El 40 % de los sábados Marta va al cine, el 30 % va de compras y el 30 % restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el 60 % de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo le ocurre el 20 % de las veces que va de compras, y el 80 % de las veces que juega a videojuegos. Se pide:

a) (1 punto) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto.

b) (1 punto) Si se sabe que Marta ha quedado con los compañeros de baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que vayan al cine?

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Resultado

\boxed{\text{a) } P(\overline{B}) = 0{,}46}

\boxed{\text{b) } P(C \mid B) = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}444}

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Estrategia

Las tres actividades (cine, compras, videojuegos) forman un sistema completo de sucesos: son incompatibles y sus probabilidades suman 1. Los porcentajes de quedar con el equipo son probabilidades condicionadas a cada actividad. Con eso:

en a), el teorema de la probabilidad total da la probabilidad de quedar con los compañeros, y la de no quedar es su complementaria;
en b), se conoce el resultado (ha quedado) y se pregunta por la causa (el cine): es el teorema de Bayes.

Un diagrama de árbol ordena los datos.

Desarrollo

Sucesos.

C

: va al cine;

M

: va de compras;

V

: juega a videojuegos;

B

: queda con sus compañeros de baloncesto.

P(C) = 0{,}4, \quad P(M) = 0{,}3, \quad P(V) = 0{,}3

P(B \mid C) = 0{,}6, \quad P(B \mid M) = 0{,}2, \quad P(B \mid V) = 0{,}8

Árbol. Cada rama completa es una intersección:

P(C \cap B) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24, \quad P(M \cap B) = 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06, \quad P(V \cap B) = 0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}24

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(B) = P(C)P(B \mid C) + P(M)P(B \mid M) + P(V)P(B \mid V) = 0{,}24 + 0{,}06 + 0{,}24 = 0{,}54

P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46

Comprobación por las ramas de «no queda»:

0{,}4 \cdot 0{,}4 + 0{,}3 \cdot 0{,}8 + 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}16 + 0{,}24 + 0{,}06 = 0{,}46

✓.

b) Por el teorema de Bayes:

P(C \mid B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}24}{0{,}54} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444

Tiene sentido: el cine y los videojuegos aportan lo mismo a

P(B)

(

0{,}24

cada uno), así que, sabiendo que ha quedado, cada uno tiene probabilidad

\frac49

, y las compras el

\frac{1}{9}

restante (

\frac49 + \frac49 + \frac19 = 1

✓).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $P(B \mid C) = 0{,}6$ (dato: si va al cine, queda con el equipo) con $P(C \mid B)$ (lo que pide el apartado b: si ha quedado, que sea en el cine). Son preguntas distintas, y la segunda se resuelve con Bayes, dividiendo entre $P(B)$ .

Define los sucesos con letras al empezar: la corrección da medio punto al planteamiento, y un árbol bien rotulado lo deja claro sin más explicaciones.