Áreas, volúmenes y distancias

a) Recta $r_1$. $x = y = z$ pasa por $A(0, 0, 0)$ con director $\vec{u} = (1, 1, 1)$.

Recta $r_2$. Tomando $x = t$: de la primera ecuación, $y = 1 - t$; de la segunda, $z = t + 1$. Así que$$r_2 \equiv (t,\ 1 - t,\ 1 + t), \qquad B(0, 1, 1), \quad \vec{v} = (1, -1, 1)$$Los directores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas. Producto vectorial:$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1)\,\vec{i} - (1 - 1)\,\vec{j} + (-1 - 1)\,\vec{k} = (2,\ 0,\ -2)$$Con $\overrightarrow{AB} = (0, 1, 1)$, el producto mixto:$$[\overrightarrow{AB},\ \vec{u},\ \vec{v}] = \overrightarrow{AB}\cdot(\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = -2 \neq 0$$Al no anularse, las rectas se cruzan, y la distancia es$$d(r_1, r_2) = \frac{|-2|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 \ \text{u}$$Comprobación: $B(0, 1, 1)$ cumple las dos ecuaciones de $r_2$ ($0 + 1 - 1 = 0$ y $0 - 1 + 1 = 0$) ✓, y $\vec{v}$ es perpendicular a las dos normales $(1, 1, 0)$ y $(1, 0, -1)$: $1 - 1 + 0 = 0$ y $1 + 0 - 1 = 0$ ✓.

b) Llamando $t$ al valor común, $x = t$, $2 - y = t$, $z - 1 = t$:$$s \equiv (t,\ 2 - t,\ 1 + t), \qquad \vec{w} = (1, -1, 1)$$El plano perpendicular a $s$ tiene normal $\vec{w}$; si pasa por el origen:$$\pi \equiv x - y + z = 0$$Sustituyendo las paramétricas de $s$:$$t - (2 - t) + (1 + t) = 0 \;\Longrightarrow\; 3t - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{1}{3}$$El punto de corte es$$\left(\frac{1}{3},\ 2 - \frac{1}{3},\ 1 + \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{4}{3}\right)$$Comprobación: en el plano, $\frac13 - \frac53 + \frac43 = 0$ ✓; en $s$, $x = \frac13$, $2 - y = \frac13$, $z - 1 = \frac13$ ✓. (Es la proyección ortogonal del origen sobre $s$.)