Matemáticas IIMedioProblema · 3 pts

Matrices

También trata: Determinantes
Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción B
Enunciado
Dadas las matricesP=(121322232),J=(−100020001),P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \qquad J = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},se pide:

a) (1 punto) Determinar la matriz P−1P^{-1}, inversa de la matriz PP.

b) (1 punto) Determinar la matriz B−1B^{-1}, inversa de la matriz B=P−1J−1B = P^{-1}J^{-1}.

c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz A2A^2, siendo A=PJP−1A = PJP^{-1}.
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Resultado
a) P−1=(21−220−1−5−14)\boxed{\text{a) } P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -5 & -1 & 4 \end{pmatrix}}b) B−1=JP=(−1−2−1644232)\boxed{\text{b) } B^{-1} = JP = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 6 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}}c) ∣A2∣=4\boxed{\text{c) } |A^2| = 4}
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Estrategia

En a), la inversa por adjuntos: P−1=1∣P∣ (Adj⁡P)tP^{-1} = \dfrac{1}{|P|}\,\bigl(\operatorname{Adj} P\bigr)^{t}, después de comprobar que ∣P∣≠0|P| \neq 0.

En b) y c) la clave es no calcular de más. La inversa de un producto es el producto de las inversas en orden contrario, así que B−1=(P−1J−1)−1=JPB^{-1} = (P^{-1}J^{-1})^{-1} = JP: basta un producto. Y en c), el determinante de un producto es el producto de los determinantes, de modo que ∣P∣|P| y ∣P−1∣|P^{-1}| se cancelan y solo importa ∣J∣|J|.
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Desarrollo

a) Determinante (por Sarrus):∣P∣=1⋅2⋅2+2⋅2⋅2+1⋅3⋅3−(1⋅2⋅2+2⋅3⋅2+1⋅2⋅3)=4+8+9−(4+12+6)=−1|P| = 1\cdot2\cdot2 + 2\cdot2\cdot2 + 1\cdot3\cdot3 - \bigl(1\cdot2\cdot2 + 2\cdot3\cdot2 + 1\cdot2\cdot3\bigr) = 4 + 8 + 9 - (4 + 12 + 6) = -1Como ∣P∣=−1≠0|P| = -1 \neq 0, PP es invertible. Adjuntos Pij=(−1)i+jMijP_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}:P11=∣2232∣=−2,P12=−∣3222∣=−2,P13=∣3223∣=5P_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -2, \quad P_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -2, \quad P_{13} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 5P21=−∣2132∣=−1,P22=∣1122∣=0,P23=−∣1223∣=1P_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -1, \quad P_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0, \quad P_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1P31=∣2122∣=2,P32=−∣1132∣=1,P33=∣1232∣=−4P_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2, \quad P_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1, \quad P_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -4Trasponiendo la matriz de adjuntos y dividiendo entre ∣P∣=−1|P| = -1:P−1=1−1(−2−12−20151−4)=(21−220−1−5−14)P^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -5 & -1 & 4 \end{pmatrix}Comprobación, P P−1=IP\,P^{-1} = I: primera fila de PP por las columnas de P−1P^{-1}, 2+4−5=12 + 4 - 5 = 1, 1+0−1=01 + 0 - 1 = 0, −2−2+4=0-2 - 2 + 4 = 0 ✓; segunda fila, 6+4−10=06 + 4 - 10 = 0, 3+0−2=13 + 0 - 2 = 1, −6−2+8=0-6 - 2 + 8 = 0 ✓; tercera fila, 4+6−10=04 + 6 - 10 = 0, 2+0−2=02 + 0 - 2 = 0, −4−3+8=1-4 - 3 + 8 = 1 ✓.

b) JJ es diagonal con ∣J∣=−2≠0|J| = -2 \neq 0, así que es invertible, y B=P−1J−1B = P^{-1}J^{-1} es producto de invertibles. Usando (MN)−1=N−1M−1(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}:B−1=(P−1J−1)−1=(J−1)−1(P−1)−1=JPB^{-1} = \left(P^{-1}J^{-1}\right)^{-1} = \left(J^{-1}\right)^{-1}\left(P^{-1}\right)^{-1} = JPMultiplicar a la izquierda por una matriz diagonal multiplica cada fila por el elemento diagonal correspondiente (la primera por −1-1, la segunda por 22 y la tercera por 11):B−1=JP=(−100020001)(121322232)=(−1−2−1644232)B^{-1} = JP = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 6 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}Comprobación: ∣JP∣=∣J∣ ∣P∣=(−2)(−1)=2|JP| = |J|\,|P| = (-2)(-1) = 2, y Sarrus sobre la matriz obtenida da −8−16−18−(−8−12−24)=−42+44=2-8 - 16 - 18 - (-8 - 12 - 24) = -42 + 44 = 2 ✓.

c) Por las propiedades del determinante, ∣MN∣=∣M∣ ∣N∣|MN| = |M|\,|N| y ∣P−1∣=1∣P∣|P^{-1}| = \dfrac{1}{|P|}:∣A∣=∣P∣ ∣J∣ ∣P−1∣=∣P∣ ∣J∣ 1∣P∣=∣J∣=(−1)⋅2⋅1=−2|A| = |P|\,|J|\,|P^{-1}| = |P|\,|J|\,\frac{1}{|P|} = |J| = (-1)\cdot 2 \cdot 1 = -2∣A2∣=∣A∣2=(−2)2=4|A^2| = |A|^2 = (-2)^2 = 4
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Consejo

La inversa de un producto invierte el orden: (P−1J−1)−1=JP(P^{-1}J^{-1})^{-1} = JP, no PJPJ. Como el producto de matrices no es conmutativo, escribir PJPJ da otra matriz y el apartado entero cae.

En c) no hace falta calcular AA: con ∣MN∣=∣M∣ ∣N∣|MN| = |M|\,|N| se resuelve en una línea. Lo que sí conviene es comprobar siempre P P−1=IP\,P^{-1} = I en a), porque un signo mal puesto en un adjunto arrastra el error a todo lo demás.
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